La medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ es una construcción matemática que proviene del ley del precio único , también conocido como el principio de no arbitraje sin riesgo y del que quizá ya haya oído hablar en los siguientes términos: "hay no hay almuerzo gratis en los mercados financieros".
Esta ley está en el corazón de los valores valoración relativa Véase este bonito artículo de Emmanuel Derman ("Metáforas, modelos y teorías", 2011) y alguna parte de ce discusión.
En lo que sigue, supongamos, para simplificar, que
- existencia de un activo sin riesgo ;
- tipos deterministas y constantes, con un tipo sin riesgo $r$ ;
- sin dividendos y sin costes adicionales de financiación de los fondos propios.
Cómo relacionarse $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{P}$ Algunos conceptos útiles
Le site riesgo neutro medir $\mathbb{Q}$ es una medida de probabilidad que es equivalente a $\mathbb{P}$ y bajo el cual los precios de los activos (más bien debería decir el precio de las carteras de autofinanciación compuestas por valores comercializados para ser perfectamente rigurosos), descontados al tipo libre de riesgo, resultan ser martingalas .
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Si se parte de la base de que en el mundo real no hay comida gratis (por tanto, bajo $\mathbb{P}$ ), entonces la definición anterior (más concretamente la parte "equivalente") sugiere que habrá no hay almuerzo gratis bajo $\mathbb{Q}$ o bien . Para convencerse de ello, eche un vistazo a la respuesta aceptada a ce Pregunta del SE. Esto responde a su pregunta sobre las condiciones de no arbitraje.
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La propiedad de la martingala es conveniente ya que nos permite representar los precios de los activos como expectativas condicionadas a la información que tenemos actualmente, lo que parece intuitivo y natural. De hecho, a partir de la definición si $X_t$ es un $\mathbb{Q}$ -martingale entonces $$ X_0 = E^{\mathbb{Q}}[X_t \vert \mathcal{F}_0] $$
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El adjetivo "neutro en cuanto al riesgo" proviene del hecho de que, utilizando un argumento de replicación (estática para los contratos lineales, dinámica para la mayoría de los demás) y bajo el supuesto de que no hay almuerzo gratis (+ completitud del mercado, negociación continua, sin fricciones), se puede demostrar que el verdadero rendimiento de la acción simplemente desaparece del problema de valoración de la opción. Así, la aversión al riesgo desaparece y sólo la tasa libre de riesgo $r$ permanece. Esto es exactamente lo que demostraron Black-Scholes-Merton y que les valió el premio Nobel en primer lugar, véase más abajo.
Un ejemplo sencillo: el modelo Black-Scholes
Supongamos que el precio de las acciones $S_t$ sigue un GBM bajo $\mathbb{P}$ $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t^{\mathbb{P}}\ \ \ (1) $$ donde $\mu$ es el rendimiento esperado de la acción y $\sigma$ la volatilidad anualizada de los rendimientos logarítmicos. Esta ecuación describe la dinámica de las acciones en el mundo real.
Considere la fijación de precios (todavía estamos bajo en el mundo real) de una reclamación contingente $V_t = V(t,S_t)$ de la que lo único que sabemos es que paga $\phi(S_T)$ a su titular cuando $t=T$ (opción genérica europea). Ahora, considere lo siguiente autofinanciación cartera:
$$\Pi_t = V_t - \alpha S_t$$
Utilizando el lema de Itô junto con la propiedad de autofinanciación se obtiene: \begin{align} d\Pi_t &= dV_t - \alpha dS_t \\ &= \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right) dt + \left( \frac{\partial V}{\partial S} - \alpha \right) dS_t\\ \end{align}
El argumento original de Black-Scholes-Merton es entonces que, si podemos reequilibrar dinámicamente la cartera $\Pi_t$ de manera que el número de acciones que se posee se ajusta continuamente para ser igual a $\alpha = \frac{\partial V}{\partial S}$ entonces la cartera $\Pi_t$ derivaría a una tasa determinista que, por ausencia de oportunidades de arbitraje, debería coincidir con la tasa libre de riesgo.
Escribir esto como $d\Pi_t = \Pi_t r dt$ y recordando que hemos elegido $\alpha = \frac{\partial V}{\partial S}$ para llegar a esta conclusión, tenemos
\begin{align} &d\Pi_t = \Pi_t r dt \\ \iff& \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 \right) dt = \left( V_t - \frac{\partial V}{\partial S} S_t \right) r dt \\ \iff& \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) + r S \frac{\partial V}{\partial S}(t,S) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) - rV(t,S) = 0 \end{align} que es la famosa ecuación de precios de Black-Scholes. Ahora bien, la Feynmann-Kac nos dice que la solución de la EDP anterior puede calcularse como $$ V_0 = E^\mathbb{Q}[ e^{-rT} \phi(S_T) \vert \mathcal{F}_0 ] $$ donde bajo una determinada medida $\mathbb{Q}$ $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}} $$ que muestra que $$\frac{V_t}{B_t} \text{ and } \frac{S_t}{B_t} \text{ are } \mathbb{Q}\text{-martingales}$$ con $B_t = e^{rt}$ que representa el valor del activo sin riesgo que mencionamos en la introducción. Observe cómo $\mu$ ha desaparecido por completo de la ecuación de precios.
Dado que esta fórmula de Feynman-Kac se parece mucho a un truco de magia, vamos a profundizar en el cambio de medida desde una perspectiva más matemática (lo anterior fue, de hecho, el argumento financiero... al menos para derivar la ecuación de precios, no para expresar su solución en forma de martingala).
A partir de $(1)$ definamos la cantidad $\lambda$ como el exceso de rentabilidad sobre la tasa libre de riesgo de nuestra acción, expresada en unidades de volatilidad (es decir, su ratio de Sharpe): $$ \lambda = \frac{\mu - r}{\sigma} $$ Si se introduce esto en $(1)$ da: $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma (dW_t^{\mathbb{P}} + \lambda dt) $$ Ahora Teorema de Girsanov nos dice que si definimos el Radon-Nikodym del cambio de medida como $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}(-\lambda W_t^{\mathbb{P}}) $$ entonces el proceso $$ W_t^{\mathbb{Q}} := W_t^{\mathbb{P}} - \langle W^{\mathbb{P}}, -\lambda W^{\mathbb{P}} \rangle_t = W_t^{\mathbb{P}} + \lambda t $$ surgirá como un $\mathbb{Q}$ -Movimiento browniano, por lo que podemos escribir: $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}} $$
Vale, esto puede parecerte más mágico que antes, pero hay un tratamiento matemático riguroso detrás, no te preocupes.
De todos modos, una característica interesante de la escritura y la manipulación de la derivada de Radon-Nikodym es que uno puede eventualmente demostrar que:
$$V_0 = E^{\mathbb{Q}} \left[ \left. \frac{V_T}{B_T} \right\vert \mathcal{F}_0 \right] = E^{\mathbb{P}} \left[ \left. \frac{V_T}{B_T} \mathcal{E}(-\lambda W_T^\mathbb{P}) \right\vert \mathcal{F}_0 \right]$$
donde he utilizado el Regla de Bayes para las expectativas de las condiciones con $$ X := V_T/B_T,\ \ \ f := \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \vert \mathcal {F}_T = \mathcal{E}(-\lambda W_T^{\mathbb{P}}),\ \ \ E^\mathbb{P}[f \vert \mathcal{F}_0 ] = 1 $$
El resultado anterior es muy interesante y puede reexpresarse aquí como
$$ V_0 = E^{\mathbb{Q}} \left[ e^{-rT} \phi(S_T) \vert \mathcal{F}_0 \right] = E^{\mathbb{P}} \left[ e^{-\left(r+\frac{\lambda^2}{2}+\frac{\lambda}{T} W_T^{\mathbb{P}}\right)T} \phi(S_T) \vert \mathcal{F}_0 \right] $$
Esto demuestra que, bajo los supuestos de BS:
- El precio de la opción puede calcularse como una expectativa bajo $\mathbb{Q}$ en cuyo caso descontamos los flujos de caja a la tasa libre de riesgo.
- El precio de la opción también puede calcularse como una expectativa bajo $\mathbb{P}$ pero esta vez tenemos que descontar los flujos de caja en función de nuestra aversión al riesgo, que se traduce en la prima de riesgo del mercado $\lambda$ (que depende de $\mu$ ).
Esto responde a su pregunta:
Por lo tanto, además de utilizar los rendimientos esperados, ¿qué otro ajuste podría ser necesario para estimar las probabilidades del mundo real?
Es necesario utilizar un factor de descuento estocástico para tener en cuenta la aversión al riesgo, véase más arriba y otras observaciones más adelante.
Estimación de las probabilidades en el mundo real suponiendo que BS
Aquí tienes diferentes posibilidades. La primera idea que se me ocurre es calibrar el modelo de difusión con las series temporales observadas. Al hacerlo, espera obtener una estimación de $\mu$ et $\sigma$ en el caso del GBM. Ahora bien, teniendo en cuenta lo que acabamos de decir antes, hay que tener mucho cuidado al fijar los precios bajo $\mathbb{P}$ no se puede descontar a la tasa libre de riesgo. También la obtención de una estimación estadísticamente significativa para $\mu$ (y la prima de riesgo latente de la renta variable) puede no ser tan fácil como parece ver la discusión ici
Es más complicado que eso cuando se elige otro modelo que el BS
La relación: $$ V_0 = E^{\mathbb{Q}} \left[ \frac{V_T}{B_T} \vert \mathcal{F}_0 \right] = E^{\mathbb{P}} \left[ \frac{V_T}{B_T} f \vert \mathcal{F}_0 \right] $$ con $$f = \left. \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \right\vert_{\mathcal{F}_T}$$ se mantendrá (en condiciones técnicas leves).
En comparación con el factor de descuento sin riesgo $$DF (0,T):=1/B_T $$ la cantidad $$SDF (0,T):=f/B_T$$ es más conocido como Factor de descuento estocástico (tal vez ya has oído hablar de los modelos SDF, esto es precisamente eso) y podemos escribir, sin pérdida de generalidad:
$$ V_0 = E^{\mathbb{Q}} \left[ DF (0,T) V_T \vert \mathcal{F}_0 \right] = E^{\mathbb{P}} \left[ SDF (0,T) V_T \vert \mathcal{F}_0 \right] $$
El problema es que, dependiendo de los supuestos del modelo que se utilice, no siempre se puede tener una forma simple y/o única para $f$ (por lo tanto $SDF (0,T) $ ) como solía ocurrir en BS.
Este es el caso, sobre todo, de los modelos incompletos (es decir, modelos que incluyen saltos y/o volatilidad estocástica, etc.). Así que ahora entiende por qué cuando necesitamos modelos para valorar opciones, los calibramos directamente bajo $\mathbb{Q}$ y no en las series temporales observadas bajo $\mathbb{P}$ .
