Arbitragefree de Precios: P vs P

Question

He leído que el Teorema Fundamental de la valuación de Activos de los estados, que un mercado es el arbitraje si y sólo si existe un equivalente de martingala de la medida Q, en virtud de la cual el descuento en los precios de los activos de proceso se convierte en una martingala.

¿Por qué la existencia de Q importa para arbitragefree de la propiedad, si tenemos la medida física P en virtud de que existe potencialmente en realidad es una oportunidad de arbitraje?

Desde mi entender, si el mercado no es arbitragefree física medida de probabilidad P, ¿por qué sería tan sólo si existe tal medida teórica Q?

Answer 1

En los derivados contexto, "arbitraje" significa que casi seguramente por la probabilidad de medida bajo consideración. Esto está en oposición con el arbitraje estadístico utilizado a altas frecuencias, por ejemplo.

Más precisamente, el supuesto es que no hay $T\geq 0$ y auto-financiado de la cartera $V$ tales que $V_0 = 0$, $P(V_T < 0) = 0$ y $P(V_T > 0) > 0$. Esta propiedad sigue siendo cierto si reemplazamos $P$ por ninguna medida equivalente a $P$. Basta con aplicar $P(a) = 0 \Leftrightarrow P(A) = 0$ $a = \{V_T < 0\}$ y $A = \{V_T > 0\}$.

Si usted tiene un equivalente de martingala medida $Q$, entonces usted no puede tener el arbitraje. Vamos a probar esto. Deje que $V$ ser un auto-financiado de la cartera, tales que $V_T \geq 0$ $P$-casi seguramente y $Q(V_T > 0) > 0$. Escribe $\widetilde{V}_t = e^{-\int_0^t r_sds} V_t$ entonces también tenemos $\widetilde{V}_T \geq 0$ $P$-casi seguramente y $Q(\widetilde{V}_T > 0) > 0$ (estas propiedades son invariantes bajo cambios de numeraire). Dado que el valor descontado $\widetilde{V}$ es un $P$-martingala, $V_0 = \widetilde{V}_0 = E^Q[\widetilde{V}_T] > 0$. Esto demuestra que usted no puede tener una estrategia de arbitraje por debajo de los $Q$ de modo que usted no puede tener uno por debajo de los $P$ o. Esto demuestra el fácil la mitad del teorema fundamental de la valuación de activos.

Ahora usted puede y debe preguntarse ¿por qué molestarse con la búsqueda de una medida martingala $P$? La respuesta es que es muy útil porque, por definición, con descuento de los activos (y todos los auto-financiado carteras) son martingales. Para los cálculos de los derivados de los precios son mucho más fácil dado que la expectativa de una martingala en $T$ es igual a su valor inicial (observable al menos en teoría en el mercado). La diferencia con el mundo real (el $P$-mundo) es que usted no necesita para la estimación de la deriva (retorno) de los activos subyacentes (predecir si una acción va a subir o bajar en un día dado es una cosa muy difícil de hacer por profundas razones estadísticas). Si establece saltos de un lado, el valor de una opción sólo dependen de la volatilidad del subyacente. La diferencia entre los rendimientos reales son ya un precio en la prima de riesgo de mercado $\lambda$ se utiliza para definir el cambio de la historial del riesgo neutral medida (cf. El teorema de Girsanov: $\frac{dQ}{dP}|_{\mathcal{F}_t} = \exp( -\int_0^t \lambda_s dW_s - \frac{1}{2}\int_0^t |\lambda_s|^2 ds)$).