El Baye la regla condicional de las expectativas de los estados
$$ E^Q[X|\mathcal{F}]E^P[f|\mathcal{F}]=E^P[Xf|\mathcal{F}] $$
Con $f=dQ/dP$ - siendo el Radón-Nikodyn derivados y $X$ se algunos variable aleatoria y $\mathcal{F}$, siendo algunos de sigma-algebrad.
Porque yo no era capaz de encontrar la prueba en ninguno de los libros que yo normalmente uso intentaba demostrar a mí mismo. Esta regla se utiliza a menudo en el contexto del cambio de numeraire técnica.
La prueba utiliza la definición y caracterización de los condicionales expectativas. Así uno se tiene que mostrar
$$\int_A E^Q[X|\mathcal{F}]E^P[f|\mathcal{F}]dP=\int_AE^P[Xf|\mathcal{F}]dP $$ Para todo $A\in\mathcal{F}$
Utilizando de nuevo la caracterización de la esperanza condicional el lado derecho es igual a $\int_A Xf dP$ e con $f$, siendo el Radón-Nikodyn derivados, esto es igual a $\int_A X dQ$ mus
$$\int_AE^P[Xf|\mathcal{F}]dP=\int_A X dQ $$
En el otro lado mediante la cuantificación de $E^Q[X|\mathcal{F}]$ con respecto a $\mathcal{F}$ el lado izquierdo es igual a $$\int_A E^P\left[(E^Q[X|\mathcal{F}] f)\vert \mathcal{F}\derecho] dP$$ Una vez más, con la caracterización de la esperanza condicional esto es $$\int_A E^P\left[(E^Q[X|\mathcal{F}] f)\vert \mathcal{F}\derecho] dP=\int_A fE^Q[X|\mathcal{F}] dP$$ Finalmente, con $f$, siendo el Radón-Nikodyn densidad se llega a
$$\int_A fE^Q[X|\mathcal{F}] =\int_A E^Q[X|\mathcal{F}] dQ=\int_A X dQ$$ y así $$\int_A E^Q[X|\mathcal{F}]E^P[f|\mathcal{F}]dP=\int_A X dQ$$
Esto concluye la prueba.
Dos preguntas:
- ¿alguien sabe de una fuente donde pude verificar que
- hay una forma alternativa de la prueba el resultado ?
