¿Cómo funciona el "marco de precios neutrales al riesgo"?

Question

He luchado durante mucho tiempo para entender esto - ¿Qué es esto? ¿Y cómo te afecta?

Sí, me refiero a la fijación de precios neutrales al riesgo; los foros de Wilmott no lo tenían claro.

Answer 1

Supongo que se refiere a la fijación de precios neutrales al riesgo. Piénselo así (cuidado, simplificación excesiva ;-)

Quieres ponerle precio a un derivado del oro, un certificado de oro. El producto sólo paga el precio actual de la onza en dólares.

Ahora, ¿qué precio le pondrías? ¿Pensarías en tus preferencias de riesgo? No, no lo harías, simplemente tomarías el precio actual del oro y quizás añadirías algo de margen. Por lo tanto, las preferencias de riesgo no importaban (=neutralidad del riesgo) porque este producto se deriva (=derivado) de un producto subyacente (=subyacente).

Esto se debe a que todas las diferentes preferencias de riesgo de los participantes en el mercado ya están incluidas en el precio del subyacente y el derivado puede cubrirse con el subyacente continuamente (al menos esto es lo que se suele dar por sentado). En cuanto el precio del certificado de oro se desvíe del precio original, un operador astuto se limitará a comprar/vender el subyacente y a vender/comprar el certificado para embolsarse un beneficio sin riesgo, y el precio volverá a subir pronto...

Como ven, el concepto básico de neutralidad del riesgo es bastante natural y fácil de entender. Por supuesto, el diablo está en los detalles... pero esa es otra historia.

Véase también mi respuesta a una pregunta similar aquí: Por qué las derivas no están en la fórmula de Black Scholes

Answer 2

Apostamos por un lanzamiento justo de la moneda si sale cara se obtiene $\$ 100 $, tails you get $\$0$ . Por lo tanto, el valor esperado es $\$ 50 $. But it is unlikely that you'll pay $\$50$ para jugar a este juego porque la mayoría de la gente tiene aversión al riesgo. Si fueras neutral al riesgo, entonces pagarías $\$ 50 $ for an expected value of $\$50$ para un pago neto esperado de $\$ 0$. Un jugador neutro al riesgo aceptará el riesgo y jugará a juegos con pagos netos esperados de cero. O, lo que es lo mismo, un jugador neutral al riesgo no necesita un resultado neto esperado positivo para aceptar el riesgo.

Digamos que usted pagaría $\$ 25 $ to play this game. That means if you were risk-neutral, that you'd be assigning probabilities of 1/4 to heads and 3/4 to tails for an expected value of $\$25$ y una retribución neta esperada de $\$ 0$.

Así que si podemos convertir de la medida de probabilidad de riesgo $(1/2, 1/2)$ a una medida de probabilidad neutral al riesgo $(1/4, 3/4)$ entonces podemos fijar el precio de este activo con una simple expectativa.

Por lo tanto, si se puede encontrar la medida de riesgo neutro para un activo basado en un conjunto de resultados, entonces se puede utilizar esta medida para valorar fácilmente otros activos como un valor esperado.

Answer 3

Supongamos que usted y otros apostantes participan en una lotería con $N$ resultados posibles; el evento ocurrirá con probabilidad $\pi_n$ . Hay $N$ contratos básicos disponibles para la compra. Contrato $n$ costes $p_n$ y le da derecho a un dólar si el resultado $n$ y cero en caso contrario.

Ahora, imagine que tiene un crédito contingente que paga una indemnización compleja basada en el resultado, digamos $f(n)$ . El valor esperado de la recompensa es

$$E(f(n))=\sum_n \pi_n f(n) =E(f)$$

Ahora, considere una cartera de $f(1)$ unidades de contrato básico $1$ , $f(2)$ unidades de contrato básico $2$ etc. Esta cartera tiene exactamente la misma remuneración aleatoria que el crédito contingente. Debido a la ley del precio único Debe tener el mismo precio que el crédito contingente. Por lo tanto, el crédito contingente tiene un precio igual a

$$\text{price}(f)=\sum_n p_n f(n)$$

Definir $r= 1/(\sum_{i=1}^N p_i)$ y establecer $\tilde p_n := r p_n$ que es una medida de probabilidad, y se puede reescribir

$$\text{price}(f)=r^{-1} \sum_n \tilde p_n f(n)=r^{-1} E^*(f)$$

Así pues, las probabilidades neutrales al riesgo son esencialmente los precios normalizados de los "créditos contingentes", es decir, las apuestas específicas al resultado. Y el precio de cualquier reclamación es la expectativa descontada según esta distribución de probabilidad. $r$ es fácil de identificar: si el crédito contingente es de 1 dólar para cualquier resultado, su precio es el valor descontado de un dólar utilizando el tipo de interés sin riesgo. Por tanto, $r$ es el tipo de interés sin riesgo.

¿De dónde salen estos precios? Hay tres maneras de pensar en la determinación de los precios:

1. Se determinan mediante una condición de no arbitraje, donde ningún apostante puede hacer algo por nada con casi total seguridad;
2. Están determinados por una condición de equilibrio, donde todos los apostantes optimizan su utilidad;
3. Se determinan mediante una optimización de la utilidad de un solo agente de utilidad de un solo agente.

Todas las condiciones implican que los precios son estrictamente positivos. Para más información, el libro Dynamic Asset Pricing de Duffie sigue siendo la referencia estándar.

La intuición básica de este marco se remonta 35 años atrás, a Cox-Rubinstein. Harrison-Kreps amplió el resultado, y desde entonces se ha extendido aún más. Las formas más generales hasta un nivel inútil de tecnicidad son de Delbaen y Schachermayer.

Answer 4

La medida de riesgo-netural tiene una propiedad enormemente importante que merece la pena dejar muy clara:

El precio de cualquier operación es igual a la expectativa de las ganancias y pérdidas de la operación según la medida de neutralidad del riesgo.

Esta propiedad nos da un esquema para valorar los derivados:

1. tomar una colección de precios de las operaciones que existen en el mercado (por ejemplo, los tipos de swap, los precios de los bonos, los precios de las swaptions, los precios de los cap/floor),
2. el conjunto de probabilidades neutrales al riesgo que implican estos precios,
3. calcular la expectativa de la rentabilidad de la operación de derivados bajo estas probabilidades neutrales al riesgo,
4. que es el precio del derivado.

La medida de neutralidad del riesgo es, en cierto modo, la otra cara del concepto de prima de riesgo .

Sin necesidad de mezclar los precios de las acciones y los bonos y cosas por el estilo, podemos tener una buena idea del concepto de prima de riesgo en un simple juego de apuestas.

El ejemplo clásico, un juego de lanzamiento de monedas:

1. un jugador entrega algo de dinero, digamos £X, para jugar,
2. el anfitrión lanza una moneda imparcial,
3. si sale cara, el jugador recibe 2 libras,
4. pero si sale cruz, no se devuelve nada.

Un libro de texto sobre probabilidad le dirá que el precio de 1 libra por partida es justo para este juego porque el concepto de justo se define en los libros de texto de probabilidad como que el precio pagado debe ser igual al valor de las ganancias esperadas. Está claro que en este ejemplo es así.

Pero seamos inteligentes, salgamos de la teoría y preguntemos cuánto estarían dispuestos a pagar los distintos jugadores por este juego. Pensemos en dos jugadores diferentes:

1. una persona A que tiene 1,50 libras en el bolsillo pero que se ve presionada por un agente de tráfico para que pague 2 libras por una multa de aparcamiento (y nada menos que 2 libras le vale),
2. persona B que tiene 10 libras en el bolsillo y no necesita nada más que eso.

¿No crees que podrías convencer a la persona A de que pague hasta sus 1,50 libras por este juego? La persona B podría ser más difícil de convencer, pero tal vez se acercaría si cobráramos algo así como 50 peniques por partida y anunciáramos el juego como "potencialmente 4 veces más rentable para su inversión".

Lo importante es que el precio teórico justo puede ser perfectamente de 1€ para este juego, pero el precio real al que lo vendamos puede ser algo diferente, ya que dependerá de las circunstancias de los jugadores a los que se lo vendamos.

La diferencia entre el precio real y el teórico se llama prima de riesgo . Introduciendo un poco de lenguaje de mercado, podemos escribir esto como:

el prima de riesgo es la cantidad de prima (o descuento) que hay que añadir al precio justo teórico para que coincida con el precio real de la operación en el mercado.

Observación: La medida neutral de riesgo es riesgo neutro porque en esta realidad alternativa el precio que paga el jugador A por el juego no contiene ninguna prima de riesgo - el precio es exactamente igual al valor de las ganancias esperadas del juego.

He escrito un poco más sobre esto en mi blog si quieres ir a ver.

Answer 5

Se dice que un mercado es completa si cualquier demanda contingente puede ser replicada por una estrategia de negociación admisible (es decir, con un proceso de valor acotado desde abajo) autofinanciada (es decir, todas las ganancias y pérdidas se compensan exactamente entre sí), una llamada estrategia de réplica . Dado que esta estrategia se construye a partir de valores primarios -cuyos precios de mercado son únicos-, su precio debe ser idéntico para todo el mundo, por lo que la estrategia es independiente de cualquier hipótesis sobre la aversión al riesgo. Cualquier discrepancia entre el precio de la estrategia de réplica y sus valores primarios subyacentes sería eliminada por las operaciones de arbitraje de los participantes en el mercado, independientemente de sus preferencias de riesgo .

Supongamos ahora que se quiere fijar el precio de un derecho contingente, por ejemplo, una opción europea sobre un valor de renta variable. Suponiendo que el mercado es completo, el pago de este valor puede reproducirse perfectamente utilizando los valores existentes. De nuevo, por los mismos argumentos anteriores, el precio de mercado de la opción y de la estrategia de réplica debe ser exactamente el mismo bajo una condición de no arbitraje, independientemente de las preferencias de riesgo . Por lo tanto, no se puede incluir una prima de riesgo positiva ni negativa en el precio de mercado de equilibrio de la opción o, de forma equivalente, de la estrategia de réplica (en realidad, ya se incluye una especie de prima de riesgo "agregada" en los precios de los valores primarios de la estrategia de réplica, pero no se añade ninguna otra prima de riesgo al fijar el precio del crédito contingente).

Hemos demostrado que si el mercado no tiene oportunidades de arbitraje y es completo, entonces debe ser que el precio de mercado de la opción es exactamente igual al de la estrategia de réplica, y que este precio es de hecho único. Esto es esencialmente lo que dice el (Segundo) Teorema Fundamental de la Valoración de Activos (FTAP). Dado que la estrategia de réplica no depende de ningún supuesto relativo a las preferencias de riesgo, no importa qué supuestos se hagan sobre las preferencias de riesgo de los participantes en el mercado. Por lo tanto, el precio en el mercado del mundo real (en el que coinciden los participantes con aversión al riesgo, los neutrales al riesgo y los que buscan el riesgo) debe ser igual al de un mercado neutral al riesgo. Dado que es mucho más conveniente (y matemáticamente potente, por ejemplo, la teoría de la martingala) trabajar en un mundo neutral al riesgo, éste es el enfoque de fijación de precios estándar utilizado en las finanzas matemáticas.