En un comentario a esta pregunta se menciona que, bajo la distribución log-normal, \begin {align*} vol(k) \approx vol(atm) \times \sqrt { \frac {atm}{k}}. \end {align*} Aquí, $k$ es la huelga, $atm$ es el strike at-the-money, y $vol(k)$ es la volatilidad implícita correspondiente a la huelga $k$ . Tengo dificultades para derivar esta aproximación. Se agradece cualquier sugerencia.
Respuesta
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La página 3 de este documento ad-co.com/analytics_docs/ALevin_QP_2012.pdf muestra el resultado, dado originalmente en Risk Magazine por Blyth y Uglum.
La intuición de la fórmula se da en mi comentario anterior. La motivación original de dicha fórmula fue para las opciones de tipos de interés en la década de 1990. Todo el mundo tenía un modelo de fijación de precios lognormal, pero los operadores entendían que la distribución de los tipos de interés podía estar más cerca de la normalidad. De ahí que necesitáramos una fórmula para introducir el vol lognormal correcto en nuestros modelos.
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@dm63: ¿alguna sugerencia?
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Gordon, creo que Mark Joshi puede responder a tu pregunta sin ninguna fórmula
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@BehrouzMaleki: ¿alguna referencia?
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Estoy tratando de encontrarlo. Desafortunadamente, lo perdí.
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Gracias @BehrouzMaleki. Esta pregunta ( quant.stackexchange.com/questions/25407/ ) y esta pregunta ( quant.stackexchange.com/questions/7761/ ) proporcionan algunas pistas. Pero hay tal aproximación como en la pregunta.
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De memoria creo que esto se trata en Blyth y Uglum "Rates of Skew" en Risk Magazine de hace unos 10 años.
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La intuición es que si hay un vol local normalizado constante s, entonces el vol lognormal local es inicialmente s/A, donde A es la corriente al nivel del dinero. La vol. lognormal local alrededor de la huelga es s/K. Así que en una trayectoria que comienza en el precio actual del mercado y termina alrededor del strike, la media geométrica del vol local lognormal es s/cuadrado(AK). Dado que el vol atm lognormal actual , sigma= s/A, lo anterior es igual a sigma*sqrt(A/K). La cuestión clave que hay que demostrar es que el promedio sobre todos los caminos es el mismo que el camino específico mencionado.