¿Una fórmula sencilla para calcular la volatilidad implícita?

Question

Todos sabemos que si se retira el modelo de valoración de opciones de Black Scholes se puede derivar lo que la opción está "implicando" sobre la volatilidad esperada futura del subyacente.

¿Existe una fórmula sencilla y cerrada para derivar la volatilidad implícita (IV)? Si es así, ¿podría indicarme la ecuación?

¿O el IV sólo se resuelve numéricamente?

Answer 1

El modelo de valoración de opciones Black-Scholes proporciona una fórmula de valoración de forma cerrada $BS(\sigma)$ para una opción de ejercicio europeo con precio $P$ . No existe una forma cerrada inversa para ella, pero como tiene una forma cerrada vega (derivada de la volatilidad) $\nu(\sigma)$ y la derivada es no negativa, podemos utilizar la fórmula de Newton-Raphson con confianza.

Básicamente, elegimos un valor inicial $\sigma_0$ decir del puesto de yoonkwon. Entonces, iteramos

$$ \sigma_{n+1} = \sigma_n - \frac{BS(\sigma_n)-P}{\nu(\sigma_n)} $$

hasta llegar a una solución de suficiente precisión.

Esto sólo funciona para las opciones en las que el modelo Black-Scholes tiene una solución de forma cerrada y una buena vega . Cuando no lo hace, como en el caso de los pagos exóticos, las opciones con ejercicio americano, etc., necesitamos una técnica más estable que no dependa de la vega.

En estos casos más difíciles, es típico aplicar un método secante con comprobación de límites biseccional. Un algoritmo muy utilizado es El método de Brent ya que es comúnmente disponible y bastante rápido.

Answer 2

Brenner y Subrahmanyam (1988) proporcionó una estimación de forma cerrada del IV, puede utilizarla como estimación inicial:

$$ \sigma \approx \sqrt{\cfrac{2\pi}{T}} . \cfrac{C}{S} $$

Answer 3

Es un procedimiento muy sencillo y sí, se utiliza Newton-Raphson porque converge con suficiente rapidez:

• Evidentemente, hay que suministrar un modelo de valoración de opciones como BS.

• Introduzca una estimación inicial de la volatilidad implícita -> calcule el precio de la opción en función de su estimación inicial de iVol -> aplique NR -> minimice el término de error hasta que sea lo suficientemente pequeño a su gusto.

• a continuación se presenta un ejemplo muy sencillo de cómo se obtiene el vol implícito a partir del precio de una opción: http://risklearn.com/estimating-implied-volatility-with-the-newton-raphson-method/

• También se puede derivar la volatilidad implícita a través de un enfoque de "aproximación racional" (enfoque de forma cerrada -> más rápido), que se puede utilizar exclusivamente si está bien con el error de aproximación o como un híbrido en combinación con algunas iteraciones de NR (mejor conjetura inicial -> menos iteraciones). Aquí una referencia: http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=952727

Answer 4

Hay algunas referencias sobre este tema. Puede que le resulten útiles.

Peter Jaeckel tiene artículos llamados "Por implicación (2006)" y "Seamos racionales (2013)"

Li y Lee (2009) [descargar] Un método adaptativo de sobrerrelajación sucesiva para calcular la volatilidad implícita de Black-Scholes

Stefanica y Radoicic (2017) Una fórmula explícita de volatilidad implícita

Answer 5

Para obtener IV hago lo siguiente 1) cambiar el sig muchas veces y calcular C en la fórmula BS cada vez. Esto se puede hacer con la calculadora OIC Todos los demás parámetros se mantienen constantes en los cálculos del precio de compra BS. El sig que corresponde al valor de C más cercano al valor de mercado de la call es probablemente el correcto. 2) sin la calculadora OIC para cada sig elegido estoy utilizando el enfoque antiguo: calcular d1, d2, Nd1, Nd2 y el valor de la opción BS. De nuevo, el valor BS calculado más cercano al valor de mercado corresponde probablemente al IV correcto.