Inclinado hacia abajo sonrisa en el modelo normal

Question

Consideramos un precio de la acción $S$ siguiendo un modelo normal: $dS_t = \sigma dW_t$

Podemos escribir esto como $\frac{dS_t}{S_t}=\frac{\sigma}{S_t}dW_t$

Por lo tanto podemos ver que la $S$ de la siguiente manera un "log-normal" de difusión con un local de la volatilidad de la función $c(S)=\frac{\sigma}{S}$, que es inclinado hacia abajo.

Mi pregunta es: ¿podemos deducir que el registro normal de la sonrisa que implica este modelo será inclinada hacia abajo así ? Es decir, si tenemos un local de la volatilidad de la función es decreciente en función de la $S$, la lognormal implícita vol estar disminuyendo en función de la huelga ?

Gracias !

Answer 1

Desde $S_T = S_0 + \sigma W_T$, \begin{align*} C &:= E\left((S_T-K)^+ \derecho)\\ &= E\left((S_0+\sigma W_T-K)^+ \derecho)\\ &=\int_{\frac{K-S_0}{\sigma \sqrt{T}}}^{\infty}(S_0+\sigma\sqrt{T} x-K) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ &=(S_0-K)\Phi\left(\frac{S_0-K}{\sigma \sqrt{T}}\derecho)+\frac{\sigma\sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(S_0-K)^2}{2\sigma^2 T}}, \end{align*} donde $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar. A continuación, \begin{align*} \frac{dC}{d K} &= -\Phi\left(\frac{S_0-K}{\sigma \sqrt{T}}\right) <0. \end{align*} Por otro lado, supongamos $\sigma_I(K)$ ser la log-normal de la volatilidad implícita, que es, \begin{align*} C = C(K, \sigma_I(K)). \end{align*} Entonces \begin{align*} \frac{dC}{d K} &=\frac{\partial C}{\partial K} + \frac{\partial C}{\parcial \sigma_I}\frac{\partial \sigma_I}{\partial K}. \end{align*} Aquí, \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial K} = - \Phi(d_2), \end{align*} donde \begin{align*} d_2 = \frac{\ln\frac{S_0}{K} - \frac{1}{2}\sigma_I^2 T}{\sigma_I \sqrt{T}}. \end{align*} Desde \begin{align*} \lim_{K\rightarrow \infty}\frac{S_0-K}{\ln \frac{S_0}{K}} = \infty, \end{align*} podemos esperar que, por $K$ lo suficientemente grande, \begin{align*} d_2 > \frac{S_0-K}{\sigma \sqrt{T}}. \end{align*} Es decir, \begin{align*} \frac{\partial C}{\parcial \sigma_I}\frac{\partial \sigma_I}{\partial K} &= \Phi(d_2) - \Phi\left(\frac{S_0-K}{\sigma \sqrt{T}}\derecho) > 0. \end{align*} A continuación, \begin{align*} \frac{\partial \sigma_I}{\partial K} > 0, \end{align*} y que la volatilidad implícita es una función creciente de dicha huelga niveles. En conclusión, la volatilidad implícita no tiene que ser una función decreciente de la huelga.

Answer 2

El implícita Black-Scholes sesgar se inclina hacia abajo en el límite de la izquierda y la derecha. (Creo que @Gordon derivación alegando pendiente hacia arriba puede tener una señal de error en alguna parte).

Lado Izquierdo

Para el lado izquierdo es suficiente notar que el modelo lognormal no tiene la densidad por debajo de cero, mientras que el modelo normal, tiene estrictamente positivo de la densidad en la región. Por lo tanto, implícita Black Scholes vols va a acercarse a los $\infty$ como huelgas $K \rightarrow 0$.

Lado Derecho

Para el lado derecho, la más simple observación a realizar es que la lognormal tiene una mucho más "denso" a la derecha de la cola que el modelo normal. Esto nos lleva a la conclusión de que el relativamente flaco de la cola del modelo normal, dará lugar a más y más pequeño de los volúmenes implicados como aumentar la huelga.

Vamos a hacer esto un poco más preciso. Es más fácil hacer los cálculos si se consideran los precios (y lo que implica vols) de opciones digitales en lugar de opciones de vainilla.

Sin pérdida de generalidad, podemos tomar $F=T=1$ que $F$ es la expectativa de $S_T$. El CDFs

$$ CDF_{LN}(K) = \frac12 \left[1 + \operatorname{fer}\left(\frac{\ln K-1}{\sqrt{2}\sigma_{LN}}\right)\right] $$

y

$$ CDF_{N}(K) = \frac12\left[1 + \operatorname{fer}\left( \frac{K-1}{\sigma_N\sqrt{2}}\right)\right] $$

por lo que el precio de una llamada digital en el modelo lognormal es

$$ C_{LN}(K) = \frac12 \left[1 - \operatorname{fer}\left(\frac{\ln K-1}{\sqrt{2}\sigma_{LN}}\right)\right] $$

mientras que en el modelo normal es

$$ C_{N}(K) = \frac12\left[1 - \operatorname{fer}\left( \frac{K-1}{\sigma_N\sqrt{2}}\right)\derecho]. $$

El error de la función es estrictamente creciente, y $K$ domina $\log(K)$ como $K \rightarrow \infty$. Por lo tanto, independientemente de la base de volatilidades $\sigma_{LN}, \sigma_{N}$ de la opción que los precios se derivan, finalmente se han

$$ C_{LN}(K) \gg C_{N}(K) $$

Es decir, un modelo lognormal iba a "esperar" a ver mucho más de la opción de precio que el modelo normal, está dando. Los argumentos de la función de error es de $\log(K)$ frente $K$, que conduce a una pendiente negativa en la opción de la relación de precios y, por tanto, una pendiente negativa en el implícita vol.

Por lo tanto una pendiente negativa en el implícita sesgo aparece en el lado derecho de los precios de los derivados del modelo normal.

R Código De

K = seq(0.5, 5, by=0.01)
F = T = sigma_N = 1
r = 0
d1 = (F-K)/(sigma_N*sqrt(T))
C = (F-K)*pnorm(d1) + (sigma_N*sqrt(T))/sqrt(2*pi)*exp(-d1^2/2)
vol_curve = implied_volatilities(C, CALL, F, K, r, 1)
plot(K, vol_curve,
     xlab='Strike', ylab="Imp_Vol",
     main="Implied Black-Scholes Vols Of A Normal Model")

Answer 3

Aunque es un poco diferente de la historia, no son MUY precisas aproximación a las fórmulas de la volatilidad implícita en condiciones normales de modelo (llamado punto base de la volatilidad). El uso de ellos, usted puede obtener el implícita vol directamente sin numérica raíz de encontrar como el método de Newton.

Esta es mi papel https://ssrn.com/abstract=990747 y una mejora https://ssrn.com/abstract=2420757 .

A continuación se muestra algunos de discusión en los blogs:

https://www.clarusft.com/analytic-implied-basis-point-volatility/ https://www.clarusft.com/bachelier-model-fast-accurate-implied-volatility/

Answer 4

Estoy de acuerdo con Gordon deducción si el precio de las acciones se distribuye de que manera bajo riesgo neutral medida. Con suficientemente grande K debe ser monótono, pero para otros casos, no podría ser diferente de los casos. Creo que puede ser útil si crea una lista de opciones con diferentes huelgas, el tiempo hasta la madurez y los precios al contado, para observar el multivariante relación entre implícita vol y S0,K,T-t, a partir de la fórmula de fijación de precios.