En la función de utilidad C.E.S., ¿es necesario que los parámetros sumen la unidad para obtener la función de utilidad Cobb-Douglas?

Question

Consideremos la función de utilidad C.E.S.

$$U(x, y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}}$$

¿Es cierto que debemos tener $a+b=1$ para obtener una función de utilidad Cobb-Douglas como $c\rightarrow 0$ ?

Answer 1

Sí.

Escribe

$$U(x,y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}} = \exp\left\{\frac {-1}{c}\ln \left(ax^{-c} + by^{-c}\right)\right\} \tag{1}$$

Ahora si $a+b=1$ entonces como $c\rightarrow 0$ expresión

$$\frac {\ln \left(ax^{-c} + by^{-c}\right)}{-c} \tag{2}$$

será una forma indeterminada $0/0$ y así podemos aplicar la regla de L'Hopital sobre ella para obtener

$$\frac {1}{-c}\cdot \frac {-ax^{-c}\ln x + by^{-c}\ln y}{ax^{-c} - by^{-c}} \rightarrow \frac {a}{a+b}\ln x + \frac {b}{a+b}\ln y,\;\;\; c\rightarrow 0$$

donde hemos asumido $a+b=1$ .

Entonces (por la continuidad uniforme de la función exponencial)

$$c\rightarrow 0,\;\;\; U(x,y) = \exp\left\{\frac {-1}{c}\ln \left(ax^{-c} + by^{-c} \right) \right\} \rightarrow \exp\left\{a\ln x + b\ln y \right \} = x^ay^b$$ .

Pero si $a+b\neq 1$ , entonces como $c\rightarrow 0$ el argumento del logaritmo en el numerador en la ec. $(2)$ no habría sido igual a la unidad, por lo que el logaritmo no sería igual a cero (lo que nos daría la forma indeterminada, y nos permitiría utilizar la regla de L' Hopital). En cambio, la ec. $(2)$ habría llegado al infinito. Así que $a+b=1$ para llegar a la función Cobb-Douglas.