¿Aplicaciones de las funciones trigonométricas en Economía?

Question

¿Existen aplicaciones de las funciones trigonométricas (es decir, $\sin(x)$, $\cos(x)$,$\tan(x)$) en la economía?

Answer 1

La principal propiedad de las funciones trigonométricas es su ciclicidad. Entonces, uno pensaría que podrían ser ideales en el análisis de series temporales, para modelar "fluctuaciones alrededor de una tendencia". Creo que las razones por las que en realidad no se utilizan en tal escenario son

1) Son funciones deterministas, por lo que no permiten que las fluctuaciones sean estocásticas

2) Si el investigador desea crear un modelo que produzca fluctuaciones al alza y a la baja (oscilaciones) alrededor de una tendencia, querría obtener esa propiedad de las suposiciones de comportamiento y otras del modelo. Si utilizara una función trigonométrica, impondría a priori en el modelo el resultado teórico buscado.

En su lugar, se opta por ecuaciones diferenciales diferenciales. Allí obtenemos oscilaciones (amortiguadas o no) si algunas raíces características son complejas, y luego las funciones trigonométricas aparecen, pero como una representación alternativa, no como bloques de construcción.

Answer 2

Una aplicación natural de las funciones trigonométricas está en el análisis de datos espaciales. Un ejemplo es el problema de Weber en la teoría de localización - encontrar el punto que minimiza la suma de costos de transporte a $n$ destinos. Hay más de una forma de resolver el problema pero la solución de Tellier utiliza la trigonometría.

Answer 3

Conozco el uso de series de Fourier en Finanzas y Econometría.

Métodos de Transformada de Fourier en Finanzas

Answer 4

Ignorando la restricción presupuestaria intertemporal, fusiones y quiebras, la distribución de rendimientos de los valores de renta variable negociados en una subasta doble es $$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$$

Para más información ver: Harris, D.E. (2017) La Distribución de Rendimientos. Revista de Finanzas Matemáticas, 7, 769-804.

Para retornos calculados como la diferencia de logs, los rendimientos son: $$\Pr(\log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$$

Answer 5

Para un ejemplo concreto de cómo las funciones trigonométricas (y trigonométricas inversas) pueden tener aplicaciones financieras o económicas, aquí hay uno del libro "Análisis de series temporales financieras" de Ruey S. Tsay. Considera el modelo AR(2):

$$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$$

Su función de autocorrelación (ACF) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ satisface la ecuación de diferencia $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$, donde $B$ es el operador de cambio hacia atrás, es decir, $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ y $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$. (Algunas personas prefieren escribir $L$ en lugar del operador de rezago.)

La ecuación característica de segundo orden $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ tiene raíces características $\omega_1$ y $\omega_2$ dadas por:

$$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$$

Si las raíces características son reales, el comportamiento es una mezcla de dos decaimientos exponenciales. Pero si en cambio el discriminante $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$, entonces las raíces características $\omega_1$ y $\omega_2$ forman un par conjugado complejo, y el gráfico de la ACF exhibirá ondas senoidales amortiguadas. Citando a Tsay:

En aplicaciones comerciales y económicas, las raíces características complejas son importantes. Dan lugar al comportamiento de los ciclos comerciales. Entonces es común que los modelos de series temporales económicas tengan raíces características de valor complejo. Para un modelo AR(2) ... con un par de raíces características complejas, la longitud promedio de los ciclos estocásticos es

$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]} $$

donde el coseno inverso está expresado en radianes. Si uno escribe las soluciones complejas como $a \pm bi$, donde $i=\sqrt{-1}$, entonces tenemos $\phi_1 = 2a$, $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$, y

$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})} $$

Observa que esta segunda forma de escribir $k$ tiene una manera mucho más intuitiva desde el punto de vista geométrico de pensar en el coseno inverso.