Para un ejemplo concreto de cómo las funciones trigonométricas (y trigonométricas inversas) pueden tener aplicaciones financieras o económicas, aquí hay uno de "Análisis de series temporales financieras" de Ruey S. Tsay. Considerar el modelo AR(2):
$$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$$
Su función de autocorrelación (ACF) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ cumple la ecuación de diferencia $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$, donde $B$ es el operador de desplazamiento hacia atrás, es decir, $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ y $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$. (Algunas personas prefieren escribir $L$ en lugar del operador de desfase.)
La ecuación característica de segundo orden $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ tiene raíces características $\omega_1$ y $\omega_2$ dadas por:
$$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$$
Si las raíces características son reales, el comportamiento es una mezcla de dos decaimientos exponenciales. Pero si en lugar de eso el discriminante $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$, entonces las raíces características $\omega_1$ y $\omega_2$ forman un par conjugado complejo, y el gráfico de la ACF mostrará ondas sinusoidales amortiguadas. Para citar a Tsay:
En aplicaciones empresariales y económicas, las raíces características complejas son importantes. Dan origen al comportamiento de los ciclos económicos. Es común entonces que los modelos de series temporales económicas tengan raíces características de valor complejo. Para un modelo AR(2) ... con un par de raíces de características complejas, la longitud promedio de los ciclos estocásticos es
$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]} $$
donde el coseno inverso se expresa en radianes. Si uno escribe las soluciones complejas como $a \pm bi$, donde $i=\sqrt{-1}$, entonces tenemos $\phi_1 = 2a$, $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$, y
$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})} $$
Nota que esta segunda forma de escribir $k$ tiene una forma mucho más intuitiva geométricamente de pensar en el coseno inverso.
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