¿Aplicaciones de las funciones trigonométricas en Economía?

Question

¿Existen aplicaciones de las funciones trigonométricas (por ejemplo, $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$) en economía?

Answer 1

La principal propiedad de las funciones trigonométricas es su ciclicidad. Uno podría pensar que serían ideales en el análisis de series temporales, para modelar "fluctuaciones alrededor de una tendencia". Creo que las razones por las que en realidad no se utilizan en tal entorno son

1) Son funciones determinísticas, por lo que no permiten que las fluctuaciones sean estocásticas

2) Si el investigador quiere crear un modelo que produzca fluctuaciones al alza y a la baja (oscilaciones) alrededor de una tendencia, querría obtener esa propiedad a partir de las suposiciones de comportamiento y otras del modelo. Si usara una función trigonométrica, a priori impondría en el modelo el resultado teórico buscado.

En cambio, se opta por ecuaciones diferenciales-diferenciales. Allí obtenemos oscilaciones (amortiguadas o no) si algunas raíces características son complejas, y luego aparecen las funciones trigonométricas, pero como una representación alternativa, no como bloques de construcción.

Answer 2

Una aplicación natural de las funciones trigonométricas es en el análisis de datos espaciales. Un ejemplo es el problema de Weber en la teoría de la ubicación - encontrar el punto que minimiza la suma de los costos de transporte a $n$ destinos. Hay más de una forma de resolver el problema, pero la solución de Tellier utiliza trigonometría.

Answer 3

Sé que las series de Fourier se utilizan en Finanzas y Econometría.

Métodos de Transformada de Fourier en Finanzas

Answer 4

Ignorando la restricción presupuestaria intertemporal, fusiones y quiebras, la distribución de rendimientos para los valores negociados en una subasta doble es $$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$$

Para más información ver: Harris, D.E. (2017) The Distribution of Returns. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804.

Para los rendimientos calculados como la diferencia de logaritmos, los rendimientos son: $$\Pr(\log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$$

Answer 5

Para un ejemplo concreto de cómo las funciones trigonométricas (y trigonométricas inversas) pueden tener aplicaciones financieras o económicas, aquí hay uno de "Análisis de series temporales financieras" de Ruey S. Tsay. Considerar el modelo AR(2):

$$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$$

Su función de autocorrelación (ACF) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ cumple la ecuación de diferencia $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$, donde $B$ es el operador de desplazamiento hacia atrás, es decir, $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ y $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$. (Algunas personas prefieren escribir $L$ en lugar del operador de desfase.)

La ecuación característica de segundo orden $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ tiene raíces características $\omega_1$ y $\omega_2$ dadas por:

$$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$$

Si las raíces características son reales, el comportamiento es una mezcla de dos decaimientos exponenciales. Pero si en lugar de eso el discriminante $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$, entonces las raíces características $\omega_1$ y $\omega_2$ forman un par conjugado complejo, y el gráfico de la ACF mostrará ondas sinusoidales amortiguadas. Para citar a Tsay:

En aplicaciones empresariales y económicas, las raíces características complejas son importantes. Dan origen al comportamiento de los ciclos económicos. Es común entonces que los modelos de series temporales económicas tengan raíces características de valor complejo. Para un modelo AR(2) ... con un par de raíces de características complejas, la longitud promedio de los ciclos estocásticos es

$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]} $$

donde el coseno inverso se expresa en radianes. Si uno escribe las soluciones complejas como $a \pm bi$, donde $i=\sqrt{-1}$, entonces tenemos $\phi_1 = 2a$, $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$, y

$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})} $$

Nota que esta segunda forma de escribir $k$ tiene una forma mucho más intuitiva geométricamente de pensar en el coseno inverso.