¿Cómo es el límite de $U(x, y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}}$ a medida que c se aproxima a 0 se obtiene la función de utilidad Cobb-Douglas?

Question

$$\begin{equation*} U(x, y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}} \end{equation*}$$

Lo pregunto principalmente porque después de registrar ambos lados de la ecuación de la Utilidad (el primer paso para demostrar la afirmación, supongo), me queda:

$$\begin{equation*} \lim_{c \rightarrow 0} \dfrac{-\ln(ax^{-c} + by^{-c})}{c} \end{equation*}$$ Sé que la parte inferior irá a 0, y tengo la sensación de que la parte superior irá a 0 también. Sin embargo, todo lo que me queda en la parte superior es esencialmente $a + b$ y que llegue a 0, $a + b = 1$ .

¿Cómo puede $a + b = 1$ ? ¿Es esta la dirección correcta? ¿Qué es lo que $a + b = 1$ ¿quieres decir? ¿Por qué el $a + b = 1$ ?

Edición: Y una vez demostrado, ¿qué dice todo esto del "límite" sobre la función original? ¿Qué tiene de especial esta ecuación en particular para que su límite como $c \rightarrow 0$ es la función Cobb Douglas?

Edición 2: Tras investigar un poco más, he descubierto una función sospechosamente similar conocida como CES. $a$ y $b$ sin embargo, son en cambio $a$ y $(1-a)$ ¡¡!! Ahora estoy aún más confundido. ¿Cómo se supone que voy a derivar esa relación complementaria de esta ecuación? ¡Se supone que esto es teoría del consumidor!

Answer 1

No es cierto que esta función sea equivalente a la función de utilidad Cobb-Douglas cuando $c \sim 0$ para cualquier valor de $(a,b)$ ; hay que asumir $a+b=1$ para ello, es decir $b=1-a$ .

Para ver por qué es cierto, fija $(x,y)$ y considerar la siguiente expansión de Taylor de $U(x,y)$ cuando $c$ se acerca a $0$ . Tenemos

$$\begin{align*} (ax^{-c}+by^{-c})^{-\frac{1}{c}} & = e^{-\frac{1}{c} \ln{[ax^{-c}+by^{-c}]}} \\ & = e^{-\frac{1}{c} \ln{[ae^{-c\ln(x)}+be^{-c \ln(y)}]}} \\ & = e^{-\frac{1}{c} \ln{[a(1-c \ln(x) + o(c)) + b(1-c \ln(y) + o(c))}]} \\ & = e^{-\frac{1}{c} \ln{[a+b - c (a \ln(x)+b \ln(y)) + o(c))]}} \\ \end{align*}$$ Si $a+b>1$ el término de la exponencial converge a $-\infty$ cuando $c \rightarrow 0$ y por lo tanto $U(x,y) \rightarrow 0$ . Si $a+b<1$ el término converge a $+\infty$ y por lo tanto $U(x,y) \rightarrow +\infty$ .

Por lo tanto, para obtener la convergencia hacia la función Cobb-Douglas, debemos suponer $a+b=1$ . En ese caso tenemos $$\begin{align*} U(x,y) & = e^{-\frac{1}{c} \ln{[1-c(a \ln(x) + (1-a) \ln(y))+o(c)]}} \\ & = e^{-\frac{1}{c} [-c(a \ln(x) + (1-a) \ln(y))+o(c)]} \\ & = e^{a \ln(x) + (1-a) \ln(y) + \frac{o(c)}{c}} \\ & \rightarrow_{c \rightarrow 0} e^{a \ln(x) + (1-a) \ln(y)} \\ & = x^{a} y^{1-a} \end{align*}$$ que es la función de utilidad Cobb-Douglas con parámetros $(a,1-a)$ .