¿Cómo puedo obtener la función de producción Leontief y Cobb-Douglas a partir de la función CES?

Question

En la mayoría de los libros de texto de Microeconomía se menciona que la función de producción de elasticidad constante de sustitución (CES), $$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$$

(donde la elasticidad de sustitución es $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$ ), tiene como límites tanto la función de producción de Leontief como la de Cobb-Douglas. En concreto,

$$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$$

y

$$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$$

Pero nunca proporcionan la prueba matemática de estos resultados.

¿Puede alguien aportar estas pruebas?

Además, la función CES anterior incorpora rendimientos constantes a escala (homogeneidad de grado uno), debido a que el exponente exterior es $-1/\rho$ . Si fuera, digamos $-k/\rho$ entonces el grado de homogeneidad sería $k$ .

¿Cómo se ven afectados los resultados de la limitación si $k\neq 1$ ?

Answer 1

Las pruebas que presentaré se basan en técnicas pertinentes al hecho de que la función de producción CES tiene la forma de un media ponderada generalizada .
Esto se utilizó en el documento original en el que se introdujo la función CES, Arrow, K. J., Chenery, H. B., Minhas, B. S., & Solow, R. M. (1961). Capital-labor substitution and economic efficiency. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
Los autores remitieron a sus lectores al libro Hardy, G. H., Littlewood, J. E., & Pólya, G. (1952). Inequalities Capítulo $2 $ .

Consideramos el caso general $$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$$

$$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$$

1) Limitar cuando $\rho \rightarrow \infty$
Como nos interesa el límite cuando $\rho\rightarrow \infty$ podemos ignorar el intervalo para el que $\rho \leq0$ y tratar $\rho$ como estrictamente positivo.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ . También tenemos $K, L >0$ . Entonces verificamos que se cumple la siguiente desigualdad:

$$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k}) $$

$$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$$

elevando a lo largo del $\rho/k$ poder para conseguir

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ que efectivamente se mantiene, obviamente, dados los supuestos. Entonces volvamos al primer elemento de $(1)$ y

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$$

que intercala el término medio en $(1)$ a $(1/L^{k})$ Así que

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$$

Así que para $k=1$ obtenemos la función de producción básica de Leontief.

2) Limitar cuando $\rho \rightarrow 0$
Escribe la función usando la exponencial como

$$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$$

Consideremos la expansión de Maclaurin de primer orden (expansión de Taylor centrada en cero) del término dentro del logaritmo, con respecto a $\rho$ :

$$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$$

$$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$$

Inserte esto de nuevo en $(4)$ y deshacerse del exponencial exterior,

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$$

En caso de que sea opaco, defina $r\equiv 1/\rho$ y volver a escribir

$$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$$

Ahora sí parece una expresión cuyo límite en el infinito nos dará algo exponencial:

$$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$$

$$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$$

El grado de homogeneidad $k$ de la función se conserva, y si $k=1$ obtenemos la función Cobb-Douglas.

Fue este último resultado el que hizo que Arrow y compañía llamaran a $a$ el parámetro de "distribución" de la función CES.

Answer 2

El método habitual de obtención de Cobb-Douglas y Leotief es La regla de L'Hôpital .

También hay que utilizar otros métodos. Configurar $ \gamma=1$ será devuelto $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$ y $$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$$ Por La derivada total vía diferencial tendremos $$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL $$ Con algunas manupulaciones se obtendrá nuestra ecuación principal.

$$ dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL $$

Función lineal : $\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Función Cobb-Douglas : $$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$$ Tomando la integral de ambos lados se obtendría

$$ \int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$$

$$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$$

Función Leontief : $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$