Intuición para el efecto de Vol en el modelo de Heston sobre la superficie de volatilidad

Question

Esperaba que alguien pudiera describir la intuición económica/matemática que hay detrás del efecto que tiene el parámetro vol de vol en la superficie de volatilidad, en particular la pendiente hasta el vencimiento. Tomemos por ejemplo, como en Kienitz y Wetterau (2012), el modelo como $$dS(t)=\mu S(t)dt+\sqrt{V(t)}S(t)dW_1(t)$$ $$dV(t)=\kappa(\Theta-V(t))dt+\nu\sqrt{V(t)}dW_2(t)$$ $$S(0)=S_0$$ $$V(0)=V_0$$ $$\langle\,dW_1,dW_2\rangle=\rho dt$$

A continuación, los autores proporcionan las siguientes superficies vol tras perturbar determinados parámetros:

Todo esto tiene sentido para mí aceptar el gráfico final que muestra los efectos de perturbar el vol de vol, $\nu$ . Las sonrisas más pronunciadas en cualquier madurez están bien, las entiendo. Puede que me esté perdiendo algo obvio, pero ¿cómo un mayor vol de vol, en igualdad de condiciones, conduce a la disminución de los precios de las opciones a medida que ampliamos el vencimiento?

Answer 1

Tal vez te ayude pensar en ello de la siguiente manera.

La huelga $\sigma^2(T)$ de un swap de varianza de nuevo cuño con vencimiento $T$ en el modelo Heston sólo depende de los parámetros $(v_0,\theta,\kappa)$ Ver pregunta relacionada aquí . Más concretamente

\begin{align} \sigma^2(T) &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ \frac{1}{T} \langle \ln S\rangle_T \right] \\ &= \theta + (v_0-\theta) \frac{1-e^{-\kappa T}}{\kappa T} \end{align}

Un resultado bien conocido sin modelo es que uno puede expresar la huelga de la varianza anterior como una integral sobre el espacio de huelga de los precios de las opciones OTMF ponderados (ver aquí ), o, en su defecto, como integral sobre el espacio de huelga de la sonrisa de volatilidad implícita (en realidad se trata de una ligera re-parametrización de la misma, ver aquí )

Ahora bien, parece que estás de acuerdo con el hecho de que cuando aumentas (resp. disminuyes) el vol de Heston, se espera que aumente (resp. disminuya) la convexidad de la sonrisa del IV en cualquier vencimiento.

A partir de toda la información anterior, podemos añadir que, para cualquier sonrisa de madurez $T$

• Al disminuir el vol de vol, la convexidad de la sonrisa disminuye. Porque $\sigma^2(T)$ tiene que seguir siendo el mismo sin embargo (usted no cambió $v_0$ , $\theta$ o $\kappa$ ), el nivel de volatilidad de los cajeros automáticos tiene que aumentar mecánicamente para que la integral de vol en el espacio de strike siga siendo la misma.
• Al aumentar el vol de vol, aumenta la convexidad de la sonrisa. Porque $\sigma^2(T)$ tiene que permanecer igual, sin embargo, el nivel de volatilidad de los cajeros automáticos tiene que disminuir mecánicamente para que la integral de vol en el espacio de la huelga siga siendo la misma.