Afirmación de Jim Gatheral sobre la volatilidad implícita de los cajeros automáticos frente a la varianza de root cuadrada

Question

En El libro de Jim Gatheral La superficie de la volatilidad Sección Dependencia de la inclinación y la curvatura en la página 138, afirma que

Sabemos que la volatilidad implícita de una opción a plazo at-the-money en el modelo de Heston es menor que root cuadrada de la varianza varianza esperada (basta pensar en la forma de la distribución implícita del precio final de la acción en Heston).

Sospecho que está hablando de una desigualdad de Jensen en alguna parte. Pero no la veo. La varianza esperada debería ser $\mathbf E[v]$ donde $v$ es el proceso de varianza descrito por el modelo de Heston. No veo una prueba de esta desigualdad, aunque el capítulo 3 ofrece alguna aproximación de la volatilidad implícita directamente en términos de los parámetros de varianza del modelo. ¿Alguien tiene una prueba?

Answer 1

A continuación son mis 2 centavos solamente, pero esto era demasiado largo para un comentario.

Como muestra en las siguientes líneas (véase también Intercambios de desviaciones capítulo del libro de Bergomi) $$\sigma_{VS}^2(T) = \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{\sigma}^2(z,T) \phi(z) dz \tag{0}$$ donde $\sigma_{VS}(T)$ denota la volatilidad de un swap de varianza de nuevo cuño con vencimiento $T$ ; $\phi(\cdot)$ el pdf gaussiano estándar; $\sigma(k,T)$ la volatilidad implícita de la sonrisa en el espacio log-forward moneyness y time to expiry, y $\tilde{\sigma}(\cdot,T)$ (sonrisa modificada) directamente relacionada con la sonrisa verdadera $\sigma(\cdot,T)$ como sigue $$f: (k,t) \rightarrow -\frac{k}{\sigma(k,t)\sqrt{t}} + \frac{\sigma(k,t)\sqrt{t}}{2}$$ $$\tilde{\sigma} : (z,t) \to (\sigma \circ f^{-1})(z,t)$$

Ecuación $(0)$ equivale a escribir que $$\sigma_{VS}^2(T) = \Bbb{E} \left[ \tilde{\sigma}^2(z,T) \right],\,z \sim N(0,1)$$ Creo que entonces se refiere al hecho de que $$\sigma_{VS}(T) = \sqrt{ \Bbb{E} \left[ \tilde{\sigma}^2(z,T) \right] } \geq \Bbb{E} \left[ \tilde{\sigma}(z,T) \right]$$ por la desigualdad de Jensen (root cuadrada es una función cóncava). Ahora bien, si se parametriza $\tilde{\sigma}$ como $$\tilde{\sigma}(z) = \tilde{\sigma}_0 + \alpha z \tag{1}$$ En efecto, usted tiene ese $$\sigma_{VS}(T) \geq \tilde{\sigma}_0$$ que muestra que $\sigma_{VS}(T)$ es mayor que $\tilde{\sigma}_0$ si la sonrisa "modificada" $\tilde{\sigma}$ puede parametrizarse de la siguiente manera $(1)$ . Concluye que la inclinación no contribuye a este resultado.

Ahora, por supuesto, el problema es que $(1)$ es ciertamente demasiado rígido en la práctica (aunque se podría argumentar que cerca del dinero a plazo podría ser una aproximación decente) y $\tilde{\sigma}_0 \ne \sigma_0$ Por lo tanto, la OMI no puede afirmar nada en general.

Obsérvese que Bergomi & Guyon consiguieron derivar aproximaciones precisas que vinculan las volatilidades VS y las volatilidades ATMF en modelos de volatilidad estocástica muy generales, véase aquí . Si miras la ecuación (12) de su artículo verás que, ya en primer orden, el skew es lo único que contribuye a la discrepancia entre el vol de ATMF y el vol de VS, lo que va en contra de lo que obtiene Gatheral.

A fin de cuentas, creo que su afirmación se mantiene en el espacio de la sonrisa modificada $\tilde{\sigma}(\cdot,T)$ pero no en el espacio de la sonrisa genuina $\sigma(\cdot,T)$ .