Valoración de los futuros del VIX

Question

En un artículo de 2006, Zhang y Zhu proponen un modelo para el VIX y los futuros del VIX basado en Heston.

Me cuesta entender cómo obtienen la ecuación 6 y 8 (donde definen los parámetros).

¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Heston - Cambio de medida

Considere la siguiente dinámica de Heston escrita bajo la medida del mundo real $\Bbb{P}$ \begin {reunir} \frac {dS_t}{S_t} = \mu_t dt + \sqrt {v_t} dW_S^{ \Bbb S(0) = S_0 \\ dv_t = \kappa ( \theta -v_t)dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {P}(t),\Nv(0) = v_0 \\ d \langle W_S^ \Bbb {P}, W_v^ \Bbb {P} \rangle_t = \rho dt \end {reunir} Para poder utilizar ese modelo para fijar el precio de los instrumentos financieros, la teoría de la fijación de precios sin arbitraje (APT) nos dice que tenemos que pasar a una medida equivalente $\Bbb{Q}$ bajo la cual los precios descontados de los activos son martingalas (o más generalmente: el valor de cualquier cartera autofinanciada, cuando se expresa en la cuenta numérica del mercado monetario libre de riesgo, debería surgir como una $\Bbb{Q}$ martingala).

Como el modelo de Heston es incompleto, existen infinitas medidas de este tipo. Matemáticamente, éstas se diferenciarán por la deriva atribuida al proceso de varianza instantánea, es decir $$ dv_t = \kappa(\theta-v_t)dt - \lambda(t,S_t,v_t) dt + \xi \sqrt{v_t} dW_v^\Bbb{Q}(t) $$ donde el término $\lambda(t,S_t,v_t)$ a menudo se denomina precio de mercado del riesgo de volatilidad .

En su artículo original del año 93, Heston hace una suposición particular sobre el precio de mercado del riesgo de volatilidad, que considera proporcional a $v_t$ basándose en algunos argumentos económicos $$ \lambda(t,S_t,v_t) = \lambda v_t$$ En ese caso particular, la dinámica bajo (Heston) $\Bbb{Q}$ se puede reescribir \begin {reunir} \frac {dS_t}{S_t} = (r_t - q_t) dt + \sqrt {v_t} dW_S^{ \Bbb S(0) = S_0 > 0 \\ dv_t = \kappa ^*( \theta ^*-v_t)dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {Q}(t),\Nv(0) = v_0 \\ d \langle W_S^ \Bbb {Q}, W_v^ \Bbb {Q} \rangle_t = \rho dt \end {reunir} con \begin {align} \kappa ^* = \kappa + \lambda \\ \theta ^* = \theta \frac { \kappa }{ \kappa + \lambda } \tag {1} \end {align} y $r_t$ (resp. $q_t$ ) es el tipo de interés libre de riesgo (o la rentabilidad de los dividendos de las acciones).

Heston - Intercambios de variantes

Para un modelo de difusión puro, la varianza justa huelga $\hat{\sigma}^2_T(0)$ de un swap de varianza de nuevo cuño con vencimiento $T$ calculado en $t=0$ se define como $$ \hat{\sigma}_T(0)^2 = \frac{1}{T} \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ \int_0^T d\langle \ln S \rangle_t \right] $$ En el caso particular del modelo Heston podemos escribir además \begin {align} \hat { \sigma }_T(0)^2 &= \frac {1}{T} \Bbb {E}_0^ \Bbb {Q} \left [ \int_0 ^T v_t dt \right ] \tag {2} \\ &= \theta ^* + (v_0 - \theta ^*) \frac {1-e^{- \kappa ^* T}}{ \kappa ^* T} \end {align} donde la segunda igualdad puede ser obtenida por:

• Permutación de operadores integrales y de expectativa en $(2)$ (Fubini), señalando que $v_t$ es CIR por lo que su expectativa condicional es conocida en forma cerrada para cualquier tiempo $t$ integrando el resultado;
• Integración de la SDE verificada por $v_t$ tomando la expectativa, resolviendo la EDO resultante para $\Bbb{E}_0[v_t]$ y volver a integrar el resultado.

VIX

Porque el VIX al cuadrado es, por definición, el strike de varianza justo de un swap de varianza (idealizado) de vencimiento $T=\tau_0$ igual a 30 días tenemos entonces, bajo Heston \begin {align} VIX^2(0) &= \theta ^* + (v_0 - \theta ^*) \frac { 1-e^{- \kappa ^* \tau_0 }}{ \kappa ^* \tau_0 } \\ &= \underbrace { \theta ^* \left ( 1 - \frac {1-e^{- \kappa ^* \tau_0 }}{ \kappa ^* \tau_0 } \right )}_{A} + v_0 \underbrace { \frac {1-e^{- \kappa ^* \tau_0 }}{ \kappa ^* \tau_0 }}_{B} \tag {3} \end {align} que es exactamente la ecuación que mencionas, con los parámetros neutrales al riesgo de la dinámica de Heston $(\kappa^*, \theta^*)$ relacionados con los parámetros bajo la medida del mundo real $(\kappa, \theta)$ a través de $(1)$

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Que la dinámica de Heston bajo la $\Bbb{P}$ sea dada por \begin {align} \frac {dS_t}{S_t} &= \mu_t dt + \sqrt {v_t} dW_S^{ \Bbb {P}}(t) \\ dv_t &= \kappa ( \theta -v_t)dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {P}}(t) \\ d \langle W_S^{ \Bbb {P}},W_v^{ \Bbb {P}} \rangle_t &= \rho dt \end {align}

Definir la derivada de Radon-Nikodym de $\Bbb{Q}$ con respecto a $\Bbb{P}$ como \begin {align} \frac {d \Bbb {Q}}{d \Bbb {P}} &= \mathcal {E} \left ( - \lambda_S W_S^{ \Bbb {P}}(t) - \lambda_ {S, \bot } W_{S, \bot }^{ \Bbb {P}}(t) \right ) \\ &:= \mathcal {E}(X_t) \end {align} donde $\lambda_S$ es el precio de mercado del riesgo de las acciones $$ \lambda_S = \frac{\mu_t-r_t}{\sqrt{v_t}} $$ $\lambda_{S,\bot}$ otra prima de riesgo (aún por definir) y $\mathcal{E}[X_t]$ el exponencial Doélans-Dade del proceso $X_t$ . Asumiendo que $\lambda_S$ y $\lambda_{S,\bot}$ verificar la condición de Novikov , el teorema de Girsanov estipula entonces que \begin {align} W_S^{ \Bbb {Q}}(t) &= W_S^{ \Bbb {P}}(t) - \left\langle W_S^{ \Bbb {P}}, X \right\rangle_t \\ W_v^{ \Bbb {Q}}(t) &= W_v^{ \Bbb {P}}(t) - \left\langle W_v^{ \Bbb {P}}, X \right\rangle_t \end {align} son 2 estándar $\Bbb{Q}$ -Movimientos brownianos que verifican $d\langle W_S^{\Bbb{Q}},W_v^{\Bbb{Q}} \rangle_t = \rho dt$ .

A partir de la propiedad de bilinealidad de la variación cuadrática, la primera de las ecuaciones anteriores da como resultado \begin {align} W_S^{ \Bbb {Q}}(t) = W_S^{ \Bbb {P}}(t) + \lambda_S t \end {align}

Utilizando una descomposición Cholesky para reexpresar $W_v^{\Bbb{P}}(t)$ como $$ W_v^{\Bbb{P}}(t) = \rho W_S^{\Bbb{P}}(t) + \sqrt{1-\rho^2} W_{S,\bot}^{\Bbb{P}}(t) $$ la segunda ecuación da a su vez $$ W_v^{\Bbb{Q}}(t) = W_v^{\Bbb{P}}(t) + \lambda_S \rho t + \lambda_{S,\bot} \sqrt{1-\rho^2} t $$ lo que nos permite reescribir la dinámica bajo $\Bbb{Q}$ como \begin {align} \frac {dS_t}{S_t} &= r_t dt + \sqrt {v_t} dW_S^{ \Bbb {Q}}(t) \\ dv_t &= \kappa ( \theta -v_t)dt - \xi \sqrt {v_t} ( \lambda_S \rho + \lambda_ {S, \bot } \sqrt {1- \rho ^2} ) dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {Q}}(t) \\ d \langle W_S^{ \Bbb {Q}},W_v^{ \Bbb {Q}} \rangle_t &= \rho dt \end {align}

Obsérvese que el cambio de medida que hemos introducido hace que los precios descontados de los activos surjan como $\Bbb{Q}$ -martingales. Obsérvese también cómo, la dinámica bajo $\Bbb{Q}$ está definida simplemente hasta una constante $\lambda_{S,\bot}$ . En otras palabras, no se determina de forma inequívoca hasta que no hacemos una suposición con respecto a la precio de mercado del riesgo de volatilidad . Definamos $$ \lambda(t,S_t,v_t) = \xi \sqrt{v_t} (\lambda_S \rho + \lambda_{S,\bot} \sqrt{1-\rho^2} ) $$ para que \begin {align} \frac {dS_t}{S_t} &= r_t dt + \sqrt {v_t} dW_S^{ \Bbb {Q}}(t) \\ dv_t &= \kappa ( \theta -v_t)dt - \lambda (t,S_t,v_t) dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {Q}}(t) \\ d \langle W_S^{ \Bbb {Q}},W_v^{ \Bbb {Q}} \rangle_t &= \rho dt \end {align}

Algunas opciones comunes:

Opción 1 Supongamos que $$ \lambda(t,S_t,v_t) = \alpha v_t $$ Entonces obtenemos \begin {align} dv_t &= \kappa ( \theta -v_t)dt - \alpha v_t dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {Q}} \\ &= ( \kappa \theta - ( \kappa + \alpha )v_t) dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {Q}} \\ &= ( \kappa + \alpha ) ( \frac { \kappa \theta }{ \kappa + \alpha } - v_t) dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {Q}} \end {align} para que \begin {align} \kappa ^* &= \kappa + \alpha \\ \theta ^* &= \frac { \kappa \theta }{ \kappa + \alpha } \end {align} Esta es la opción formulada en mi respuesta anterior, y también la que aparece en el documento original de Heston [http://web.math.ku.dk/~rolf/Heston93.pdf] (al final de las páginas 329 y 335).

Opción 2 Supongamos que $$ \lambda(t,S_t,v_t) = \lambda_S \sqrt{v_t} \rho \xi = (\mu_t - r_t)\rho\xi := \alpha $$ \begin {align} dv_t &= \kappa ( \theta -v_t)dt - \alpha dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {Q}} \\ &= \kappa (( \theta - \alpha / \kappa )-v_t) dt + \xi \sqrt {v_t} dW_v^{ \Bbb {Q}} \end {align} para que \begin {align} \theta ^* &= \theta - \alpha / \kappa \\ \end {align} Esto corresponde a una réplica que minimiza el error estándar de cobertura Delta (varianza mínima $\Delta$ à la Bergomi).