La varianza de la replicación mediante opciones

Question

Me gustaría entender el razonamiento que conduce a la siguiente pregunta:

Por qué una determinada suma ponderada de los precios de poner y llamadas es equivalente a la implícita la varianza de un subyacente?

Una variación de intercambio se replica con una estática de la cesta de llamadas y pone (entiendo que replica el implícita de varianzas), que son el delta-cubiertas (que replica el se dio cuenta de la varianza), pero lo que me parece difícil es la intuición que hay detrás.

Answer 1

Vamos a $t_0, t_1, \ldots, t_n$ ser la observación fechas, donde $0=t_0 < \cdots < t_n = T$ y $\{S_t \mediados de los t \geq 0\}$ se la equidad precio de proceso de los pagos de dividendos. Entonces el se dio cuenta de la varianza se define por $$\begin{align*} \frac{252}{n}\sum_{i=1}^n \ln^2 \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}. \end{align*}$$ Tenga en cuenta que, por lo suficientemente pequeño de $x$, $$\begin{align*} \ln (1+x) \aprox x - \frac{1}{2}x^2. \end{align*}$$ Por otra parte, $$\begin{align*} \ln^2 (1+x) &\aprox x^2\\ &\aprox 2x - 2 \ln(1+x). \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} \sum_{i=1}^n \ln^2 \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}} &\aprox 2\sum_{i=1}^n \frac{S_{t_{i}}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}-2\ln\frac{S_T}{S_0}. \end{align*}$$ Suponiendo que la tasa de interés de corto $r_t$ es determinista, $$\begin{align*} E\bigg(\sum_{i=1}^n \ln^2 \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}\bigg) &\aprox 2\sum_{i=1}^n E\Bigg(E\bigg(\frac{S_{t_{i}}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}\mediados de S_{t_{i-1}}\bigg)\Bigg)-2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\\ &= 2\sum_{i=1}^n E\Bigg(\frac{S_{t_{i-1}}e^{\int_{t_{i-1}}^{t_i}r_s ds}-S_{t_{i-1}}}{S_{t_{i-1}}}\Bigg)-2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\\ &= 2\sum_{i=1}^n \Big(e^{\int_{t_{i-1}}^{t_i}r_s ds} -1\Big)-2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\\ &\aprox 2\sum_{i=1}^n \int_{t_{i-1}}^{t_i}r_s ds - 2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\\ &= 2\int_0^T r_s ds - 2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\\ &= 2\ln \Big(S_0 e^{\int_0^T r_s ds} \Big) - 2 \ln S_0 - 2E\bigg(\ln\frac{S_T}{S_0}\bigg)\\ &= -2E\bigg(\ln\frac{S_T}{E(S_T)} \bigg). \end{align*}$$ Tenga en cuenta que, para cualquier función suave de $f$, $a>0$ y $x>0$, $$\begin{align*} f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \int_a^{\infty}(x-k)^+ f"(k)dk + \int_0^a (k-x)^+f"(k)dk. \end{align*}$$ Ver también Cómo cubrir un derivado que paga el recíproco del precio de las acciones?.

Considere la función $f(x)=\ln x$ con $x=S_T$ y $a = E(S_T)$. Tenemos que $$\begin{align*} \ln S_T = \ln E(S_T) + \frac{S_T - E(S_T)}{E(S_T)} - \int_{E(S_T)}^{\infty} \frac{(S_T-k)^+}{k^2} dk - \int_0^{E(S_T)} \frac{(k-S_T)^+}{k^2} dk. \end{align*}$$ Por lo tanto, $$\begin{align*} E\bigg(\sum_{i=1}^n \ln^2 \frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}\bigg) &\aprox -2E\bigg(\ln\frac{S_T}{E(S_T)} \bigg)\\ &=2E\bigg[\int_{E(S_T)}^{\infty} \frac{(S_T-k)^+}{k^2} dk + \int_0^{E(S_T)} \frac{(k-S_T)^+}{k^2} dk\bigg], \end{align*}$$ que es una suma ponderada de los precios de poner y llamadas.

Por un elemental e intuitiva explicación, consideramos que el Black Scholes con un movimiento Browniano geométrico. Es decir, $$\begin{align*} S_T &= S_0 \exp\big((r-\frac{1}{2}\sigma^2)T+\sigma W_T \big)\\ &= E(S_T) \exp\big(-\frac{1}{2}\sigma^2+\sigma W_T \big), \end{align*}$$ donde $\{W_t\mediados de los t\geq 0\}$ es un estándar de movimiento Browniano. Entonces, tenemos que la varianza $$\begin{align*} \sigma^2 =\frac{2}{T}\Big(\sigma W_T -\ln \frac{S_T}{E(S_T)} \Big). \end{align*}$$ Es decir, $$\begin{align*} \sigma^2 = -\frac{2}{T}E\Big(\ln \frac{S_T}{E(S_T)}\Big), \end{align*}$$ que, como se demostró anteriormente, puede ser aproximada por una suma ponderada de los precios de poner y llamadas.