Precios a plazo de las divisas con correlación entre las divisas y el cupón cero

Question

Me gustaría ampliar mi pregunta sobre los tipos de cambio a plazo en la configuración de los tipos de interés estocásticos: FX forward con fijación de precios estocásticos de los tipos de interés

Consideramos un proceso FX $X_t = X_0 \exp( \int_0^t(r^d_s-r^f_s)ds -\frac{\sigma^2}{2}t+ \sigma W_t^2)$ donde $r^d$ y $r^f$ son procesos estocásticos no independientes del movimiento browniano $W$ . La medida neutra de riesgo nacional se denota por $\mathbb Q^d$ .

Las cuentas bancarias nacionales y extranjeras son $\beta^d$ y $\beta^f $ respectivamente. Los precios de los bonos nacionales y extranjeros de cupón cero con vencimiento $T$ en el momento $t$ son los respectivos $B_d(t,T)$ y $B_f(t,T)$ .

El bono doméstico sigue la SDE

$$ \frac{dB_d(t,T)}{B_d(t,T)} = r^d_t \ dt + \sigma(t,T) \ dW^1_t $$

con condiciones iniciales deterministas $B_d(0,T)$ . Las funciones de deriva y volatilidad en las SDE son todas funciones deterministas y $W^1$ y $W^2$ son movimientos brownianos estándar tales que $\langle W^1, W^2\rangle_t =\rho \ dt$ .

Consideremos ahora el ámbito doméstico $\tau$ -medida anticipada $\mathbb Q^{d,\tau}$ $$ \left. \frac{d\mathbb Q^{d,\tau}}{d\mathbb Q^d}\right|_{\mathcal F_t} = \frac{B_d(t,\tau)}{\beta_t^dB_d(0,\tau)} = \mathcal E_t \left( \int_0 ^. \sigma(s,\tau) \ dW^1_s\right) $$

y el $\mathbb Q^{\tau}$ -Movimientos Brownianos $$ W^{1,\tau}_. := W^1_. + \int_0 ^. \sigma(s,\tau) \ ds $$

$$ W^{2,\tau}_. := W^2_. + \rho \int_0 ^. \sigma(s,\tau) \ ds $$

Pregunta

Me gustaría calcular el tipo de cambio a plazo no entregable FX forward rate. Desde la fecha de fijación $t_f$ es tal que $t_f< T$ , donde $T$ es la fecha de liquidación, implica pasar por el cálculo siguiente expectativa: $$\mathbb E^{\mathbb Q^d} _t \left[ \exp(-\int_t^T r^d_s ~ds)\ X_{t_f}\right]$$

Puedo llegar a este punto

$$ \mathbb E^{\mathbb Q^d} _t \left[ \exp(-\int_t^T r^d_s ~ds)\ X_{t_f}\right]= B_d(t,t_f)\ \mathbb E^{\mathbb Q^{d,t_f}}_t\left[ B_b(t_f,T)X_{t_f}\right]. $$

A partir de ahí, me cuesta hacer todos los cálculos. ¿Hay alguna forma inteligente de calcular la última expectativa?

Answer 1

Consideramos la expectativa \begin{align*} E^{Q_d^{t_f}} \Big(P_d(t_f, T) X_{t_f} \mid \mathcal{F}_t \Big), \end{align*} donde $Q_d^{t_f}$ es el $t_f$ -medida de avance, y $P_d(t_f, T)$ es el precio en $t_f$ de un bono nacional de cupón cero con vencimiento $T$ . Tenga en cuenta que $P_d(t_f, T) X_{t_f}$ es el valor en el momento $t_f$ del proceso \begin{align*} P_d(t, T) X_t \frac{P_f(t, t_f)}{P_d(t, t_f)}, \end{align*} donde $P_f(t, t_f)$ es el precio en $t$ de un bono extranjero de cupón cero con vencimiento $t_f$ . Si modelamos los precios de los bonos directamente, entonces necesitamos dinámicas para los cuatro procesos $X_t$ , $P_d(t, t_f)$ , $P_d(t, T)$ y $P_f(t, t_f)$ . Para simplificar, modelamos los tipos cortos basándonos en el modelo de tipos de interés de Hull-White con la correspondiente dinámica correlacionada para $X_t$ , $r_t^f$ y $r_t^d$ .

Dejemos que $X_t$ sea el tipo de cambio instantáneo de una unidad de moneda extranjera a unidades de moneda nacional, y $r^d_t$ y $r^f_t$ sean los tipos de interés a corto plazo nacionales y extranjeros denominados en acciones en el momento $t$ . Además, dejemos que \begin{align*} \Xi= (\rho_{i, j})_{i,j=1}^3 \end{align*} sea la matriz de correlación de los movimientos brownianos conductores de los 3 $-$ proceso aleatorio dimensional $\{(X_t, r^f_t, r^d_t),\, t \geq 0\}$ y que $$ LL^T = \Xi, $$ donde $L=(l_{i,j})_{i,j=1}^3$ es una matriz triangular inferior y $l_{i, i} >0$ , para $i=1, \ldots, 3$ sea la descomposición Cholesky de $\Xi$ .

Suponemos que, bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo nacional $Q_d$ , \begin{align*} dX_t &= X_t\Big[\big(r^d_t - r^f_t\big) dt + \sigma^X dW_t^1\Big], \\ dr^f_t &= \Big[\big( \theta_t^f - \lambda^f r_t^f \big) - \rho_{2, 1}\sigma^f \sigma^X\, \Big] dt + \sigma^f \sum_{i=1}^2 l_{2, i} d W_t^i,\\ dr^d_t &= \big( \theta_t^d - \lambda^d r_t^d \big) dt + \sigma^d\sum_{i=1}^3 l_{3, i} d W_t^i, \end{align*} donde $\{W_t^1,\, t \ge 0\}, \ldots, \{W_t^3,\, t \ge 0\}$ son movimientos brownianos estándar independientes, $\theta_{t}^{a},$ son funciones constantes a trozos, y $\lambda^{a}$ y $\sigma^{a}$ son positivos constante, para $a=X$ , $d$ o $f$ . Aquí, $\lambda^d$ y $\lambda^f$ son la velocidad media de reversión de los respectivos procesos dinámicos.

Obsérvese que, bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo extranjero $Q_f$ , $\{\widehat{W}_t^1= W_t^1-\sigma^X t,\, t \ge 0\}$ , $\{\widehat{W}_t^2=W_t^2,\, t \ge 0\}$ y $\{\widehat{W}_t^3=W_t^3,\, t \ge 0\}$ son movimientos brownianos estándar independientes. Además, \begin{align*} dX_t &= X_t\Big[\left(r^d_t - r^f_t + (\sigma^X)^2\right) dt + \sigma^X d\widehat{W}_t^1\Big], \\ dr^f_t &= \big( \theta_t^f - \lambda^f r_t^f \big) dt + \sigma_t^f \sum_{i=1}^2 l_{2, i} d \widehat{W}_t^i,\\ dr^d_t &= \Big[\big( \theta_t^d - \lambda^d r_t^d \big) + \rho_{3, 1}\sigma^d \sigma^X\,\Big] dt + \sigma^d\sum_{i=1}^3 l_{3, i} d \widehat{W}_t^i. \end{align*}

Dejemos que $P_d(t, T)$ y $P_f(t, T)$ denotan los precios, en el momento $t$ de los bonos nacionales y extranjeros de cupón cero con vencimiento $T$ . Desde esta pregunta , \begin{align*} P_a(t, T) &= e^{A_a(t, T) - B_a(t, T) r_t^a}, \end{align*} para $a=d$ o $f$ , donde \begin{align*} \beta_a(t, T) &= \frac{1}{\lambda^a}\left(1-e^{-\lambda^a (T-t)} \right),\\ A_a(t, T) &= -\int_t^T \theta_s^a\beta_a(s, T) ds - \frac{(\sigma^a)^2}{2(\lambda^a)^2}(\beta_a(t, T)-T+t) - \frac{(\sigma^a)^2}{4\lambda^a}\beta_a(t, T)^2. \end{align*} Entonces, bajo la medida doméstica de riesgo neutral, \begin{align*} \frac{dP_d(t, T)}{P_d(t, T)} &= r_t^d dt - \beta_d(t, T)\sigma^d \sum_{i=1}^3 l_{3, i} d W_t^i,\\ \frac{dP_f(t, T)}{P_f(t, T)} &= r_t^f dt - \beta_f(t, T)\sigma^f \sum_{i=1}^2 l_{2, i} d \widehat{W}_t^i\\ &=\left(r_t^f + \rho_{2,1}\beta_f(t, T)\sigma^f \sigma^X \right)dt - \beta_f(t, T)\sigma^f \sum_{i=1}^2 l_{2, i} d W_t^i. \end{align*}

Dejemos que $Q_d^{t_f}$ sea el doméstico $t_f$ -medida de avance. Además, dejemos que $B_d(t)=e^{\int_0^t r_s^d ds}$ sea el valor de la cuenta del mercado monetario nacional en el momento $t$ . Entonces, \begin{align*} \frac{dQ_d^{t_f}}{dQ_d}\big|_t &= \frac{P_d(t, t_f)}{P_d(0, t_f) B_d(t)}\\ &=\exp\left(-\frac{1}{2}\int_0^t (\sigma^d \beta_d(s, t_f))^2ds - \int_0^t\sigma^d \beta_d(s, t_f) \sum_{i=1}^3 l_{3, i} d W_s^i\right). \end{align*} Entonces, $\{\widetilde{W}_t^1,\, 0 \le t \le t_f\}$ , $\{\widetilde{W}_t^2,\, 0 \le t \le t_f\}$ y $\{\widetilde{W}_t^3,\, 0 \le t \le t_f\}$ donde, para $i=1, \ldots, 3,$ \begin{align*} \widetilde{W}_t^i = W_t^i + \int_0^t l_{3, i} \sigma^d\beta_d(u, t_f) du, \end{align*} son movimientos brownianos estándar independientes.

Dejemos que $F_X(t, t_f)=X_t\frac{P_f(t, t_f)}{P_d(t, t_f)}$ sea el tipo de cambio a plazo en el momento $t$ para la madurez $t_f$ . Entonces, \begin{align*} \frac{dF_X(t, t_f)}{F_X(t, t_f)} = \sigma^X d\widetilde{W}_t^1 + \beta_d(t, t_f)\sigma^d \sum_{i=1}^3 l_{3, i} d \widetilde{W}_t^i- \beta_f(t, t_f)\sigma^f \sum_{i=1}^2 l_{2, i} d \widetilde{W}_t^i. \end{align*} Además, dejemos que \begin{align*} M(t, t_f) &= -\frac{1}{2}\int_t^{t_f} \bigg((\sigma^X)^2 + (\beta_d(u, t_f)\sigma^d)^2 + (\beta_f(u, t_f)\sigma^f)^2\\ &\quad + 2 \rho_{1, 3}\sigma^X \sigma^d\beta_d(u, t_f)- 2 \rho_{1, 2}\sigma^X \sigma^f\beta_f(u, t_f) - 2 \rho_{2, 3}\sigma^d \sigma^f \beta_d(u, t_f)\beta_f(u, t_f)\bigg) du. \end{align*} Entonces, \begin{align*} X_{t_f} &= F_X(t_f, t_f)\\ &=F_X(t, t_f) \exp\bigg(M(t, t_f) \\ &\quad + \int_t^{t_f} \Big( \sigma^X d\widetilde{W}_u^1 + \beta_d(u, t_f)\sigma^d \sum_{i=1}^3 l_{3, i} d \widetilde{W}_u^i- \beta_f(u, t_f)\sigma^f \sum_{i=1}^2 l_{2, i} d \widetilde{W}_u^i\Big)\bigg). \end{align*} Además, dejemos que \begin{align*} N(t, t_f) &= e^{-\lambda^d (t_f-t)} r_t + \int_t^{t_f} \theta_u^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} du -\int_t^{t_f}(\sigma^d)^2 e^{-\lambda^d(t_f-u)}\beta_d(u, t_f) du. \end{align*} Entonces, \begin{align*} r_{t_f}^d &= e^{-\lambda^d (t_f-t)} r_t + \int_t^{t_f} \theta_u^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} du + \int_t^{t_f} \sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} \sum_{i=1}^3 l_{3, i} d W_u^i\\ &= N(t, t_f)+ \int_t^{t_f} \sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} \sum_{i=1}^3 l_{3, i} d \widetilde{W}_u^i. \end{align*} Eso es, \begin{align*} P_d(t_f, T) X_{t_f} &= \exp\bigg(A_d(t_f, T) - B_d(t_f, T) r_{t_f}^d \bigg)X_{t_f}\\ &= F_X(t, t_f) \exp\bigg(A_d(t_f, T) - B_d(t_f, T)N(t, t_f) + M(t, t_f)\\ &\quad - B_d(t_f, T) \int_t^{t_f} \sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} \sum_{i=1}^3 l_{3, i} d \widetilde{W}_u^i \\ &\quad + \int_t^{t_f} \Big( \sigma^X d\widetilde{W}_u^1 + \beta_d(u, t_f)\sigma^d \sum_{i=1}^3 l_{3, i} d \widetilde{W}_u^i- \beta_f(u, t_f)\sigma^f \sum_{i=1}^2 l_{2, i} d \widetilde{W}_u^i\Big) \bigg). \end{align*} Dejemos que \begin{align*} V(t, t_f, T) &= \int_t^{t_f} \bigg((\sigma^X)^2 + \Big(\beta_d(u, t_f)\sigma^d - B_d(t_f, T)\sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} \Big)^2 + (\beta_f(u, t_f)\sigma^f)^2\\ &\quad + 2 \rho_{1, 3}\sigma^X \Big(\beta_d(u, t_f)\sigma^d - B_d(t_f, T)\sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} \Big)- 2 \rho_{1, 2}\sigma^X \sigma^f\beta_f(u, t_f) \\ &\quad - 2 \rho_{2, 3}\sigma^f \beta_f(u, t_f)\Big(\beta_d(u, t_f)\sigma^d - B_d(t_f, T)\sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} \Big)\bigg) du\\ &= -2M(t, t_f) + B_d(t_f, T)\int_t^{t_f}\bigg[ B_d(t_f, T)\Big( \sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} \Big)^2 \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad - 2 (\sigma^d)^2\beta_d(u, t_f)e^{-\lambda^d(t_f-u)} -2 \rho_{1, 3}\sigma^X \sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +2 \rho_{2, 3}\sigma^d \sigma^f \beta_f(u, t_f) e^{-\lambda^d(t_f-u)} \bigg]du. \end{align*} Además, dejemos que \begin{align*} V_0(t, t_f, T) &=B_d(t_f, T)\int_t^{t_f}\bigg[ B_d(t_f, T)\Big( \sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} \Big)^2 \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad - 2 (\sigma^d)^2\beta_d(u, t_f)e^{-\lambda^d(t_f-u)} -2 \rho_{1, 3}\sigma^X \sigma^d e^{-\lambda^d(t_f-u)} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad +2 \rho_{2, 3}\sigma^d \sigma^f \beta_f(u, t_f) e^{-\lambda^d(t_f-u)} \bigg]du. \end{align*} Entonces \begin{align*} &\ E^{Q_d^{t_f}} \Big(P_d(t_f, T) X_{t_f} \mid \mathcal{F}_t \Big) \\ =&\ F_X(t, t_f) \exp\bigg(A_d(t_f, T) - B_d(t_f, T)N(t, t_f) + M(t, t_f) +\frac{1}{2} V(t, t_f, T) \bigg)\\ =&\ F_X(t, t_f) \exp\bigg(A_d(t_f, T) - B_d(t_f, T)N(t, t_f) + \frac{1}{2} V_0(t, t_f, T) \bigg). \end{align*}