Modelo de tipo de interés blanco de casco extendido para el bono de cupón cero

Question

Tomemos los siguientes tres SDEs:

$$dr=u(r,t)dt + w(r,t)dX$$ $$u(r,t)=a(t)-br$$ $$w(r,t)=c$$

donde $b$ y $c$ son constantes y $a(t)$ una función arbitraria del tiempo $t$ .

Si el bono de cupón cero $Z(r,T,T)=1$ porque este modelo tiene la forma

$$Z(r,t,T)=e^{(A(t,T)-B(t,T)r)}$$

¿Cómo se encuentra $A$ y $B$ ?

He derivado el PDE para este modelo sin condición de arbitraje. Sustituir esto en el PDE no es dar las respuestas correctas.

Answer 1

He aquí una solución sin utilizar la técnica PDE, que es la preferida ya que no es necesario asumir la forma afín de un precio de cupón cero desde el principio.

asumimos que, bajo la medida de riesgo neutral, \begin {alineado*} dr_t = ( \theta (t)-a r_t) dt + \sigma dW_t, \end {alineado*} donde $a$ y $ \sigma $ son constantes, $a(t)$ es una función determinante, y $W_t$ es un movimiento Browniano estándar. Buscamos calcular el precio del bono de cupón cero definido por \begin {alineado*} P(t, T) &= E \left (e^{- \int_t ^T r_s ds} \mid \mathcal {F}_t \right ), \end {alineado*} donde $ \mathcal {F}_t$ es la información establecida en el tiempo $t$ . Tenga en cuenta que \begin {alineado*} d \left (e^{at} r_t \right ) &= be^{at}r_t dt + e^{at} dr_t \\ &= \theta (t)e^{at} dt + \sigma e^{at} dW_t. \end {alineado*} Entonces, para $s \geq t \geq 0$ , \begin {alineado*} e^{as} r_s = e^{at} r_t + \int_t ^s \theta (u)e^{au} du + \int_t ^s \sigma e^{au} dW_u. \end {alineado*} Eso es, \begin {alineado*} r_s = e^{-a(s-t)} r_t + \int_t ^s \theta (u)e^{-a(s-u)} du + \int_t ^s \sigma e^{-a(s-u)} dW_u. \end {alineado*} Entonces tenemos la integral \begin {alineado*} &\ \int_t ^T r_s ds \\ =&\\N- r_t \int_t ^T e^{-a(s-t)} ds + \int_t ^T\!\!\!\! \int_t ^s \theta (u)e^{-a(s-u)} du ds + \int_t ^T\!\!\!\! \int_t ^s \sigma e^{-a(s-u)} dW_u ds \\ =&\ \frac {1}{a} \Big (1-e^{-a(T-t)} \Big ) r_t + \int_t ^T\!\!\!\! \int_u ^T \theta (u)e^{-a(s-u)} ds du + \int_t ^T\!\!\!\! \int_u ^T \sigma e^{-a(s-u)} ds dW_u \\ =&\ \frac {1}{a} \Big (1-e^{-a(T-t)} \Big ) r_t + \int_t ^T\!\! \frac { \theta (u)}{a} \Big (1-e^{-a(T-u)} \Big )du + \int_t ^T \!\! \frac { \sigma }{a} \Big (1-e^{-a(T-u)} \Big )dW_u. \end {alineado*} Deje que \begin {alineado*} B(t, T) = \frac {1}{a} \Big (1-e^{-a(T-t)} \Big ). \end {alineado*} Entonces.., \begin {alineado*} \int_t ^T r_s ds &= B(t, T) r_t + \int_t ^T \theta (u) B(u, T) du + \int_t ^T \sigma B(u, T) dW_u. \end {alineado*} Además, el precio del bono de cupón cero viene dado por \begin {alineado*} P(t, T) &= E \left (e^{- \int_t ^T r_s ds} \mid \mathcal {F}_t \right ) \\ &= \exp\left (-B(t, T) r_t - \int_t ^T \theta (u) B(u, T) du + \frac {1}{2} \int_t ^T \sigma ^2 B(u, T)^2 du \right ). \end {alineado*} Tengan en cuenta que \begin {alineado*} \int_t ^T \sigma ^2 B(u, T)^2 du &= \frac { \sigma ^2}{a^2} \int_t ^T \left (1 - 2e^{-a(T-u)} + e^{-2a(T-u)} \right ) du \\ &= \frac { \sigma ^2}{a^2} \left (T-t- \frac {2}{a} \Big (1-e^{-a(T-t)} \Big ) + \frac {1}{2a} \Big (1-e^{-2a(T-t)} \Big ) \right ) \\ &= \frac { \sigma ^2}{a^2} \left (T-t - \frac {1}{2a} \Big (1-e^{-a(T-t)} \Big )^2- \frac {1}{a} \Big (1-e^{-a(T-t)} \Big ) \right ) \\ &= - \frac { \sigma ^2}{a^2} \big (B(t, T) -T+t \big )- \frac { \sigma ^2}{2a}B(t, T)^2. \end {alineado*} Luego \begin {alineado*} P(t, T) &= A(t, T) e^{-B(t, T) r_t}, \end {alineado*} donde \begin {alineado*} A(t, T) &= \exp\left (- \int_t ^T \theta (u) B(u, T) du - \frac { \sigma ^2}{2a^2} \big (B(t, T) -T+t \big )- \frac { \sigma ^2}{4a}B(t, T)^2 \right ). \end {alineado*}

Ver http://www.math.nyu.edu/~benartzi/Slides10.3.pdf para otra derivación usando el enfoque PDE.