Creo que deberías verlo al revés.
Dejemos que $X_t$ denotan el tipo de cambio al contado FOR/DOM, es decir, 1 unidad de moneda extranjera = $X_t$ unidades de moneda nacional en el momento $t$ .
El tipo de cambio a plazo de las divisas $F^X(t,T)$ es definido como $$ F^X(t,T) = X_t \frac{B_f(t,T)}{B_d(t,T)} $$ por la base de la oportunidad de arbitraje.
Para entenderlo, considere el siguiente experimento mental. Sea $C_0$ representan un importe en efectivo denominado en la moneda extranjera. En $t=0$ Usted, un inversor con un capital inicial $C_0$ - básicamente se enfrentan a una elección:
- Invertir en la economía extranjera: comprar $C_0/B^f(0,T)$ unidades de bonos extranjeros de cupón cero a $t=0$ . Esto le cuesta $C_0$ . En $t=T$ recibirás (suponiendo que no haya impagos): $C_0/B^f(0,T)$ .
- Invierta en la economía nacional: cambie su $C_0$ unidades de la moneda extranjera para $C_0 X_0$ unidades de moneda nacional y comprar $C_0 X_0/B^d(0,T)$ unidades de bonos nacionales de cupón cero a $t=0$ . Esto le cuesta $C_0 X_0$ . En $t=T$ recibirás (suponiendo que no haya impagos): $C_0 X_0 / B^d(0,T)$ .
Ahora bien, para excluir las oportunidades de arbitraje, está claro que las dos estrategias deben ser equivalentes a la vista de hoy. En otras palabras, el tipo de cambio justo a plazo debe ser tal que, lo que se recibe al invertir $C_0$ en la economía extranjera, convertida al tipo de cambio justo a plazo, debería coincidir con lo que se recibe al invertir $C_0$ en la economía nacional. Con las anotaciones anteriores esto se escribe: $$ \left( C_0/B^f(0,T) \right) \times F^X(0,T) = C_0 X_0 / B^d(0,T)$$ por lo que $$ F^X(0,T) = X_0 \frac{B^f(0,T)}{B^d(0,T)} $$
[REM 1] La pregunta es: ¿hay que considerar los bonos frente a la inversión en las respectivas cuentas del mercado monetario cuando los tipos de interés son estocásticos, porque la evolución de las cuentas del mercado monetario ya no es determinista: cuando inviertes, no sabes lo que vas a obtener al final? Comprar bonos y asumir un impago cero salva el día.
[REM 2] : Como se explica en la respuesta de Gordon, si se quiere escribir el tipo de cambio a plazo como una martingala bajo una determinada medida $\mathbb{X}$ $$ F^X(0,T) = X_0 \frac{B^f(0,T)}{B^d(0,T)} = \mathbb{E}^{\mathbb{X}}_0 \left[ X_T \underbrace{\frac{B^f(T,T)}{B^d(T,T)}}_{=1} \right] = \mathbb{E}_0^{\mathbb{X}} [ F(T,T) ]$$ se ve que esta medida está asociada al numéraire $B^d(t,T)$ ya que la última expresión equivale a escribir eso: $$ F(t,T) = \frac{X_t B^f(t,T)}{B^d(t,T)} \text{ is a } \mathbb{X} \text{ martingale} $$ y $\mathbb{X}$ se llama $T$ -Medida doméstica de avance, normalmente denotada $\mathbb{Q}^d_T$ .
[REM3] : Si se pregunta si su propuesta de SDE es consistente con los resultados anteriores, así es como puedes convencerte. Aplicando el lema de Itô a tu SDE (expresada bajo la medida nacional de riesgo neutral $\mathbb{Q}^d$ ) e integrando desde $t=0$ a $t=T$ te consigue $$ X_T = X_0 \exp\left(\int_0^T (r^d_t-r^f_t) dt - \frac{1}{2}\sigma^2 T + \sigma W_T^{\mathbb{Q}^d} \right) = X_0 \frac{B^d(T)}{B^f(T)}\mathcal{E}[\sigma W_T^{\mathbb{Q}^d}]$$ donde he utilizado la notación $B(t)$ para el $t$ -valor de una cuenta del mercado monetario en las economías nacionales/extranjeras donde $1$ unidad monetaria se ha invertido en $t=0$ .
El cambio de medida quanto escribe clásicamente (ver preguntas relacionadas de SE) $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}^f}{d\mathbb{Q}^d} \right\vert_{\mathcal{F}_T} = \frac{X_T B^f(T)}{X_0 B^d(T)} = \mathcal{E}[\sigma W_T^{\mathbb{Q}^d}] $$ dada la expresión de $X_T$ que se encuentra más arriba (nótese que se trata de una exponencial de Doléans-Dade).
Ahora nos gustaría calcular el precio justo a plazo como una expectativa bajo el $T$ -medida anticipada $\mathbb{Q}^d_T$ cuya derivada de Radon-Nikodym wrt $\mathbb{Q}^d$ lee: $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}^d_T}{d\mathbb{Q}^d} \right\vert_{\mathcal{F}_T} = \frac{1/B^d(T)}{B^d(0,T)} $$ (nótese que es igual a uno para los índices deterministas). Entonces tenemos: \begin{align} F^X(0,T) &= \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d_T}_0[ X_T ] \\ &= \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d}_0 \left[ X_T \left. \frac{d\mathbb{Q}^d_T}{d\mathbb{Q}^d} \right\vert_{\mathcal{F}_T} \right] = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d}_0 \left[ X_T \frac{1/B^d(T)}{B^d(0,T)} \right] \tag{1} \\ &= \frac{1}{B^d(0,T)} X_0 \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^d}_0 \left[ \frac{1}{B^f(T)} \mathcal{E}[\sigma W_T^{\mathbb{Q}^d}] \right] \tag{2} \\ &= \frac{1}{B^d(0,T)} X_0 \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^f}_0 \left[ \frac{1}{B^f(T)} \underbrace{\mathcal{E}[\sigma W_T^{\mathbb{Q}^d}] \left. \left(\frac{d\mathbb{Q}^f}{d\mathbb{Q}^d}\right)^{-1} \right\vert_{\mathcal{F}_T}}_{=1} \right] \tag{3} \\ &= X_0 \frac{B^f(0,T)}{B^d(0,T)} \tag{4} \end{align} donde hemos utilizado:
- Cambio de medida del $T$ -Medida interna avanzada $\mathbb{Q}^d_T$ a la medida domótica $\mathbb{Q}^d$ + expresión de la correspondiente derivada de Radon-Nikodym
- Definición de $X_t$ solución de la SDE original proporcionada bajo la medida doméstica $\mathbb{Q}^d$
- Cambio de medida de la medida nacional $\mathbb{Q}^d$ a medida extranjera $\mathbb{Q}^f$ + expresión de la correspondiente derivada de Randon-Nikodym
- Definición del precio de un bono cupón cero según la medida extranjera $\mathbb{Q}^f$
La conclusión es que se puede utilizar con seguridad esa SDE, ya que no implica ningún problema de arbitraje flagrante.
