Cuando cubres el delta de una opción a la volatilidad implícita, el PnL resultante sobre el paso de tiempo, dt, es: $$ PnL = (\Delta_i * dS + \frac{\Gamma_i dS^2}{2} + \Theta * dt) - \Delta_i * dS $$ Quedando: $$ \frac{\Gamma_i dS^2}{2} + \Theta * dt$$ En el marco de BSM, donde $\sigma_i == \sigma_r$, Theta = Gamma, pero cuando hay una discrepancia entre $\sigma_i$ y $ \sigma_r$, el PnL resultante sobre el paso de tiempo, dt, es $$ \frac{\Gamma_i * S^2}{2} * (\sigma_r^2 - \sigma_i^2) * dt $$
Lo que se traduce en la diferencia entre la varianza realizada e implícita sobre dt, escalada por el gamma en efectivo valuado a la volatilidad implícita. Donde el gamma es negativo para una posición corta en opción y viceversa para una larga. Entonces, el PnL acumulado se vuelve: $$\sum_{t=0}^{T} \frac{\Gamma_{i,t} * S_t^2}{2} * (\sigma_{i, t}^2 - \sigma_i^2) * dt$$
A medida que aumentas la frecuencia de cobertura, reduciendo dt, en el límite en que $ dt \rightarrow 0 $, el PnL acumulado se puede escribir: $$\int_{t}^{T} \frac{\Gamma_{i,t} * S_t^2}{2} * (\sigma_{i, t}^2 - \sigma_i^2) * dt$$
Lo que nos lleva a la afirmación de Taleb de que el PnL de Vega es la integral del PnL de gamma sobre T-t en dos volatilidades diferentes.
También se pueden graficar los PnLs esperados; Vega * ($\sigma_i - \sigma_r$), Gamma en Efectivo * ($\sigma_i^2 - \sigma_r^2$) para encontrar que el PnL de vega aproxima localmente al PnL de gamma esperado.
¿Por qué? Toma la fórmula de gamma de BSM: $$ \Gamma = \frac{n(d1)}{S * \sigma * \sqrt{T}} $$
Luego aproximemos para una opción ATMF, donde d1 = 0: $$ \Gamma = \frac{1}{S * \sigma_i * \sqrt{2*\pi * T}} $$
Integrando con respecto a T: $$ \int \frac{1}{S * \sigma_i * \sqrt{2*\pi * T}} dT = \frac{\sqrt{2T}}{S * \sigma_i * \sqrt{\pi}} $$
Entonces, el PnL aproximado de gamma (0.5 * Gamma en Efectivo * (rv^2 - iv^2)) se simplifica a: $$ \frac{S * \sqrt{T}}{\sigma_i * \sqrt{2 \pi}} * (\sigma_r^2 - \sigma_i^2)$$ Entonces donde $\sigma_i \approx \sigma_r $, esto se aproxima a: $$ \frac{S * \sqrt{T}}{\sqrt{2 \pi}} * (\sigma_r - \sigma_i) $$
La vega de BSM es $ Vega = S * n(d1) * \sqrt{T} $, por lo tanto, el PnL de Vega es $ S * n(d1) * \sqrt{T} * (\sigma_r - \sigma_i)$, y nuevamente aproximando la vega al strike ATMF (aproximando n(d1) a 1/sqrt(2*pi)), nos queda:
PnL de Vega = $ \frac{S * \sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}} * (\sigma_r - \sigma_i)$
Comparando con la aproximación de PnL de gamma:
PnL de Gamma = $ \frac{S * \sqrt{T}}{\sqrt{2\pi}} * (\sigma_r - \sigma_i)$
Entonces localmente para opciones ATMF, PnL de Vega = PnL de Gamma. Donde el PnL de Vega es el cambio en el valor de la opción marcado en diferentes IVs, y PnL de Gamma es la integral (realísticamente una suma acumulativa) de la diferencia entre la varianza realizada e implícita, escalada por el gamma en efectivo multiplicado por dt.
