El documento podría ser más claro.
Es un tema un poco confuso, pero el paso importante aquí es entender la consecuencia de la derivada $C$ en la cartera que se cotiza al se supone que vol $\sigma$ . Esto implica (por Black-Scholes) que por definición será cierto que:
$\theta_t + \frac{\partial{C}}{\partial{S}}rS_t+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2{C}}{\partial{S^2}}\sigma^2S_t^2 = rC_t$ (Ecuación 1)
Es decir, la theta de $C$ está vinculada a las cantidades conocidas $\sigma, S, r$ y a los dos griegos delta y gamma. (Este es, por supuesto, el punto de partida de la fórmula Black-Scholes).
Ahora bien, también es cierto que $C_t$ dinámica en su cartera debe (por Ito) depender de la verdadero dinámica de $S_t$ y en particular tenemos:
$dC_t = \theta_tdt+ \frac{\partial{C}}{\partial{S}}dS_t+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2{C}}{\partial{S^2}}dS_t^2$ (Ecuación 2)
Aquí es donde ocurre lo importante: puedes sustituir $\theta_t$ en la Ec. 2 por su valor derivado de la Ec. 1. ¿Qué hemos obtenido?
$dC_t = rC_tdt + \frac{\partial{C}}{\partial{S}}(dS_t-rS_tdt)+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2{C}}{\partial{S^2}}(dS_t^2-\sigma^2S^2dt)$ (Ecuación 3)
Y por supuesto si $S_t$ sigue un GBM con volatilidad $\beta$ el tercer término resulta como:
$ \frac{1}{2}\frac{\partial^2{C}}{\partial{S^2}}(\beta^2-\sigma^2)S^2dt$
De ahí proviene el error de cobertura en una cartera con cobertura delta.
Deberías trabajar esto comenzando con $\Pi_t = C_t - \Delta_t S_t$ para jugar con la mecánica por ti mismo, pero un punto crucial a tener en cuenta es que todas las derivadas (theta, delta, gamma) en la Ec. 1 y en la Ecuación 2 dependen del se supone que (o precios o implícito ) vol $\sigma$ .
Esta es la razón por la que se puede sustituir $\theta_t$ en la Ecuación 2. Una vez que la opción de compra está en la cartera, debe valorarse a algún $\sigma$ y esto (y no $\beta$ ) determina su theta a efectos de cobertura. $\theta_t \equiv \theta_t(\sigma)$ .
Por eso también el error de cobertura es una función de su gamma de valoración. $\frac{\partial^2{C}}{\partial{S^2}} \equiv \frac{\partial^2{C}}{\partial{S^2}}(\sigma)$
(Tenga en cuenta que no son sólo en función de $\sigma$ pero espero que el punto esté claro).
