Enlace entre Vega y Gamma

Question

"La vega es la integral de los beneficios de la gamma (es decir, la P/L esperada del rebalanceo de la gamma) sobre la duración de la opción a una volatilidad menos la misma integral a una volatilidad diferente... Matemáticamente, es:

$$\text{Vega} = \sigma t S^2 \text{Gamma}$$

donde $S$ es el precio del activo, $t$ el tiempo que queda para el vencimiento y $\sigma$ la volatilidad.

Esto es de nuevo de Dynamic Hedging de Taleb. No puedo entender la primera frase porque no da ninguna indicación de qué volatilidades escoger ni cuál sería el integrando de la integral.

Poco después, Taleb afirma la fórmula anterior, de nuevo sin justificar de dónde procede.

Por favor, alguien podría explicar esto mejor.

Answer 1

Según el modelo Black-Scholes, \begin{align*} Gamma &= \frac{N'(d_1)}{S \sigma \sqrt{T-t}}\\ Vega &= SN'(d_1) \sqrt{T-t}. \end{align*} Entonces, es fácil ver que \begin{align*} Vega = S^2 \sigma (T-t) Gamma. \end{align*}