Intervalos de Confianza para Elasticidad en Regresión Lineal Simple

Question

Estoy bastante seguro de que esta es una pregunta muy simple que estoy pasando por alto algo obvio. Tengo una regresión lineal simple con múltiples variables independientes. Quiero calcular la elasticidad (no hay problema - $\frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{x}{y}$), pero también informar del intervalo de confianza para la elasticidad. Sé que es sencillo calcular el intervalo de confianza para $\beta$ ($\hat{\beta} \pm t^{*}_{\alpha} \cdot \sigma_{\beta}$). Pero para el intervalo de confianza para la elasticidad, ¿sería el mismo rango? ¿O debo tener en cuenta la transformación ($\beta * x/y$)?

Answer 1

Si entiendo correctamente, lo que estás proponiendo es estimar: $$y = \gamma_0 + \gamma_1 \cdot x + \xi$$ y luego usar el intervalo de confianza de $\gamma_1$ para estimar el rango de elasticidades: $$[\frac{\gamma_1 - 2 \cdot \sigma{\gamma_1}}{y} \cdot x, \frac{\gamma_1 + 2 \cdot \sigma{\gamma_1}}{y} \cdot x]$$

Esto es incorrecto, fundamentalmente debido a la desigualdad de Jensen ($E[f(x)]\neq f(E[x])$). Debes tener en cuenta la incertidumbre no lineal al calcular el intervalo de confianza. Afortunadamente, esto es fácil. Si ejecutas la estimación de regresión de $$\ln(y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(x) + \epsilon$$ entonces el intervalo de confianza de $\beta_1$ es el intervalo de confianza de la elasticidad.

En la discusión posterior, el interrogador pregunta si es posible hacer esto con el coeficiente de regresión lineal ($\gamma_1$), junto con $\bar{x},\bar{y}$ y los errores estándar asociados? ¿Por qué querrías conocer la elasticidad en los valores promedio en lugar de la elasticidad promedio implícita sobre todos los pares x-y? El parámetro beta se estima en toda la población, ¿por qué no la elasticidad también? Porque solo conocemos los valores promedio y el coeficiente de regresión lineal.

En principio, puedes hacer una simulación de Monte Carlo como la siguiente: $$\hat{elasticidad}= (\hat{\gamma} + SE_{\gamma} * N(0,1)) * (\bar{x}+ SE_{\bar{x}} * N(0,1)) / (\bar{y}+ SE_{\bar{y}} * N(0,1))$$ hacer un montón de simulaciones, y usar esto para hacer un intervalo de confianza alrededor de la estimación de la elasticidad.

En las simulaciones que realicé, esto resultó en errores estándar del 95% que incluían el valor verdadero, pero eso podría simplemente ser una función de los parámetros que probé. Como era de esperar, los errores estándar resultantes en la elasticidad son mucho más grandes que en la especificación de registro.