¿Dónde viven los ricos y los pobres en una ciudad? (Cálculo)

Question

Estoy leyendo ' Ciudades, aglomeración y equilibrio espacial ' de Ed Glaeser.

La gente vive en una ciudad monocéntrica, donde los consumidores de ingresos heterogéneos $y$ trabajo en el centro de la ciudad. Compran $H(y)$ vivienda por un precio $p(d)$ a distancia $d$ del centro, incurriendo en gastos de transporte $t(y)d$ mientras se desplazan al trabajo.

Los consumidores tienen una función de utilidad:

$U(C,H)=v(y - t(y)d - p(d)H(y),H(y))$

La restricción presupuestaria es:

$C = y - t(y)d - p(d)H(y)$ donde C es el consumo neto de transporte y vivienda.

La condición de tangencia implica:

$\frac{U_1}{U_2} = p(d)$

donde el subíndice 1 denota la diferenciación parcial con respecto al primer argumento, etc.

Por la hipótesis del equilibrio espacial, $\frac{dU}{dd}=0$ No se ganan rentas con el cambio de ubicación.

$\frac{dU}{dd} = U_1(-t(y)-p'(d)H(y))=0$

$\therefore p'(d)=\frac{-t(y)}{H(y)}$ El precio de la vivienda disminuye con la distancia $d$ .

Si la elasticidad de la renta de la vivienda es mayor que la del transporte (es decir $H(y)$ aumenta en $y$ más de $t(y)$ hace), los ricos (mayor $y$ ) vivirán en los suburbios. Matemáticamente, el denominador es mayor que el numerador y el gradiente de precios es menos pronunciado. La disposición a pagar disminuye menos con la distancia para los ricos.

A continuación, el libro define los ingresos asociados a cada distancia $y(d)$ y se diferencia de nuevo para encontrar la condición de segundo orden, $p''(d)>0$ .

El libro dice que esto es:

$p''(d)=\frac{t(y)H'(y)-H(y)t'(y)}{y'(d)}>0$

Pero creo que esto es incorrecto y debería serlo:

$p''(d)=\frac{(t(y)H'(y)-H(y)t'(y))y'(d)}{H^2(y)}>0$

¿Estoy en lo cierto?

Además, ¿cómo puedes ignorar el hecho de que $y=y(d)$ al calcular la condición de primer orden y luego introducirla al diferenciar para encontrar la condición de segundo orden?

En caso de no declarar $U(y(d)-t(y(d))d-p(d)H(y(d)),H(y(d)))$ y diferenciar dos veces?

Answer 1

1. La primera pregunta se basa en una lectura errónea del texto.

En primer lugar, es bastante correcto que, bajo los supuestos del modelo establecido:

$$(A) \ \ p''(d) = \frac{t(y)H'(y) - t'(y)H(y)}{H(y)^2} y'(d),$$

sin embargo no hay ningún problema porque el libro no dice que

$$(B)\ \ p''(d) = \frac{t(y)H'(y) - t'(y)H(y)}{y'(d)}$$

el libro afirma en cambio que la condición de segundo orden

$$ p''(d) > 0 $$ implica $$(C)\ \ \ \frac{t(y)H'(y) - t'(y)H(y)}{y'(d)} > 0$$

que se deduce de (A) - la verdadera expersión que ha derivado para $p''(d)$ - mediante la multiplicación de $(H(y))^2$ y división de $(y'(d))^2$ .

No obstante, sospecho que se trata de una errata aunque no tenga consecuencias.

Obviamente, dados (C) o [(A) y la condición de segundo orden $p''(d)>0$ ] se deduce que $y'(d)>0$ si

$$t(y)H'(y) - t'(y)H(y) > 0,$$

que también es equivalente a $$\frac{y}{H(y)} H'(y) > \frac{y}{t(y)} t'(y)$$

de ahí que las personas con altos ingresos vivan en los suburbios ( $y'(d)>0$ la renta aumenta con la distancia al centro de la ciudad) si y sólo si la elasticidad de la renta de la vivienda es mayor que la elasticidad de la renta de los costes de transporte $t(y)$ .

1. La segunda pregunta : ¿Cómo pueden los ingresos estar en función de la distancia $y=y(d)$ cuando diferenciamos la condición de segundo orden pero no cuando consideramos la condición de primer orden?

La idea es, como siempre, que los residentes tengan algún ingreso $y$ exógenamente dado. No pueden decidir por sí mismos los ingresos que desean ni sus ingresos son un producto de su elección de ubicación. Cuando eligen una ubicación óptima $d^\star$ eligen de tal manera que la condición de primer orden $p'(d) = - t(y)/H(y)$ debe aguantar. Sin embargo, los individuos de diferentes niveles de renta elegirán diferentes ubicaciones y, por tanto, en el equilibrio la renta será una función de la ubicación $y = y(d)$ . Por lo tanto, cuando se quiere considerar cómo son las cosas en el equilibrio, se puede utilizar ese ingreso $y$ es una función de $d$ .

Glaeser no demuestra la existencia de dicho equilibrio, pero este tipo de equilibrios con una ordenación perfecta de los ingresos es conocido en la literatura y el libro es un libro de texto.

La derivación de la condición de primer orden en este modelo simplificado en el que la demanda de vivienda se supone exógena en función de la renta va en esta línea:

Los residentes tienen una función de utilidad $U(c,H)$ e ingresos $y - t(y)d$ transporte en red. Se maximizan con respecto a $c$ tan condicional en $d$ la función de valor es $U(y - t(y)d - p(d)H(y),H(y))$ . En la ecuación espacial, si las personas con los ingresos $y$ está en la ciudad entonces eligen algún $d^\star$ maximizando la función de utilidad indirecta condicional $U(y - t(y)d - p(d)H(y),H(y))$ con respecto a $d$ dando la utilidad $U(y - t(y)d^\star - p(d^\star)H(y),H(y)) = u^\star(y)$ . Estos individuos sólo considerarían otros lugares si dieran el mismo nivel de utilidad (o mayor, pero en ese caso $u^\star(w)$ no sería el máximo). Esto nos permite realizar el experimento mental: ¿Cómo tendrían que cambiar los precios en función de la ubicación si otras ubicaciones dan lugar al mismo nivel de utilidad? Este experimento mental se lleva a cabo imponiendo la condición de que $U(y - t(y)d - pH(y),H(y)) = u^\star(y)$ en todos los lugares y resolviendo el precio (dando lo que se llama el función de oferta ). La derivada de la función de oferta implícita puede encontrarse diferenciando $U(y - t(y)d - pH(y),H(y)) = u^\star(y)$ con respecto a $d$ dando la condición $p'(d)H(y) = - t(y)$ que es la conocida condición de Muth.

Answer 2

Parece que se refiere a la sección titulada Heterogeneidad de la renta, en el capítulo 2 del libro que menciona (pp. 33-40).

$p''(d)=\frac{t(y)H'(y)-H(y)t'(y)}{y'(d)}$ se basa en este caso en "una versión más simple del modelo [que] asume que el consumo de la vivienda es igual a $H(y)$ y está en función de la renta, pero no del precio ni de la distancia" (p. 35). En otras palabras, al tomar la derivada (de primer o segundo orden) de $p$ en relación con $d$ , se puede tratar $H(y)$ como una constante.