Estoy explorando el tratamiento generalizado del modelo de ciudad monocéntrica de Muth-Mills tratado en la obra de Brueckner artículo . El modelo se basa en un supuesto de niveles de renta homogéneos en toda la ciudad. Sin embargo, un supuesto más realista sería suponer la presencia de diferentes grupos de renta, lo que teóricamente da lugar a diferentes curvas de oferta-rentas. ¿Cómo podría modificar el modelo presentado en el artículo para reflejar esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una forma de ampliar el modelo es permitir diferentes clases de ingresos, como se indica en la hipótesis (1) que figura a continuación. Dejemos que el modelo sea completamente estándar con todos los supuestos habituales del modelo de ciudad monocéntrica, tal y como se expone en Brueckner (1987), el documento que usted cita.
Sólo presentaré la idea básica del modelo ampliado. Por lo tanto, no doy pruebas de la existencia de los equilibrios, ni de la unicidad, ni un análisis estático comparativo o procedimientos numéricos para resolver el equilibrio dados los valores de las variables exógenas.
Me permitiré asumir las preferencias Cobb-Douglas con la utilidad de los residentes dada como $$U(c,h) = A\left(\frac{c}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}\left(\frac{h}{\alpha}\right)^\alpha,$$ donde $c$ es bueno compuesto y $h$ es metros cuadrados de vivienda.
Es bien sabido que las demandas de Marshall son $c^\star=(1-\alpha)I/p_c$ y $h^\star=\alpha I/p_h$ con $I$ siendo los ingresos. Si se introduce en la función de utilidad, se obtiene la función de valor
$$V(p_c,p_h,I) = \frac{AI}{p_h^\alpha p_c^{1-\alpha}} = \frac{I}{p_h^\alpha},$$
habiendo asumido que $p_c=1$ y $A=1$ . La función de valor nos dice que el precio máximo que un consumidor puede pagar por una unidad de vivienda $h$ si quiere alcanzar el nivel de utilidad $u$ es
$$\frac{I}{p_h^\alpha} = u \Leftrightarrow p(I,u) = \left(\frac{I}{u}\right)^\frac{1}{\alpha},$$ se encuentra invirtiendo la función de valor para expresar el precio como una función de la renta y la utilidad (que por supuesto es la conocida función de oferta ).
El siguiente paso es encontrar el tamaño del lote que es la cantidad de vivienda consumida por un residente que alcanza el nivel de utilidad $u$ tener ingresos $I$ . Para derivar esto simplemente usaré que la demanda de Marshall $h^\star_M(p,I)$ con función de oferta $p(I,u)$ sustituido por el precio es el tamaño del lote de la oferta $h_b(u,I)$ [lo mismo ocurre, por supuesto, con la demanda de Hicks]. Por lo tanto, el tamaño del lote de oferta viene dado por
$$h^\star_M(p(I,u),I) = h_b(I,u) = \frac{\alpha I}{p(I,u)} = \alpha I^{1-1/\alpha}u^{1/\alpha},$$
que es decreciente en función de la renta, porque cuando el consumidor obtiene mayores ingresos y la utilidad obtenida se mantiene constante, el precio ofrecido por la vivienda aumenta y, por tanto, se consume menos vivienda. Es importante destacar que esto no es una descripción del comportamiento de equilibrio, lo que se está diciendo es que si el consumidor tiene una mayor renta puede ofrecer un precio más alto por una unidad de vivienda manteniendo el nivel de utilidad $u$ pero eso le obligará a sustituir la vivienda por el consumo de $c$ .
Ahora añado la geometría lineal y los costes de transporte lineales de las exposiciones estándar de las ciudades monocéntricas. Así, la ciudad se expande desde el centro a $d=0$ hasta el infinito potencialmente $d \in [0,\infty)$ y los costes de transporte son $t(d) = t d$ tal que el transporte neto de ingresos es $I(d) = w-td$ .
Ahora introduzco la hipótesis extensible de que
Supuesto (1): Hay dos clases de ingresos $j=\{1,2\}$ con ingresos dados exógenamente $w_2>w_1$ y el tamaño de los segmentos de renta de la población dados exógenamente como $N_1$ y $N_2$ .
y para facilitar la exposición dejaré que la vivienda sea exógena
Supuesto (2): En el lugar $d$ el alojamiento se da como $H(d)$ ,
el segundo supuesto no es tan restrictivo como puede parecer (pero eso es más fácil de ilustrar más adelante).
Teniendo en cuenta los salarios, tengo ingresos netos de transporte para las dos clases $I_1(d) = w_1 - td$ y $I_2(d)=w_2 - td$ que se introducen en la función de oferta $p(u,I)$ y el tamaño del lote de la oferta $h_m(u,I)$ para obtener el resultado principal que
$$(3)\ \ \ p_j(u_j,d) = \left(\frac{w_j - td}{u_j}\right)^{1/\alpha} \ \ \ \ h_j^m(u_j,d) =\alpha (w_j - td)^{1-1/\alpha}u_j^{1/\alpha},$$
que en realidad no es nuevo en el sentido de que es completamente igual al modelo con residentes homogéneos como en el modelo de Brueckner (1987) sólo que añadiendo preferencias Cobb-Douglas.
Para ilustrar el uso de estas funciones, seleccione los valores de los parámetros para $(w_1,w_2,\alpha,t)$ . Suponiendo la existencia de un equilibrio con utilidades equilibradas $u^\star_1$ y $u_2^\star$ y seleccionar valores para estos ( $u_2^\star > u_1^\star$ los ricos obtienen una mayor utilidad en el equilibrio). Seleccione también un valor para el uso alternativo de la tierra $r_a$ denominada renta de la tierra (que no debe confundirse con la renta que pagan por la tierra los productores de viviendas si ese sector estuviera endogeneizado en el modelo).
En la figura siguiente, la función de oferta $p_j(u_j,d)$ de los ingresos altos y bajos se ilustran. Los residentes vivirán donde oferten el valor más alto por la vivienda. La ciudad se expande hasta donde los alquileres de oferta de cualquiera de las dos clases de ingresos es mayor que la renta del suelo.
Se hacen dos observaciones:
Observación (1): El residente de bajos ingresos vivirá en el centro de la ciudad (para ello es necesario que la vivienda sea normal buena)
Observación (2): Existe una perfecta estratificación de la renta con una renta baja en una zona y una renta alta en otra
Para cerrar el modelo, el mercado de la vivienda debe estar en equilibrio. Sea $[0,\hat d]$ ser los lugares donde residen los bajos ingresos. Entonces, para $d \in [0,\hat d]$ la demanda de vivienda viene dada por $h_{j}^m(u_{j},d)$ por persona y unidades de vivienda es $H(d)$ por lo que la densidad de población en $d$ debe ser $H(d)/h_{j}^m(u_{j},d)$ e integrando sobre $[0,\hat d]$ debe ser igual a $N_1$ el número de residentes con bajos ingresos que he estipulado exógenamente que vivan en la ciudad. Así que las condiciones de equilibrio incluyen que
$$N_1 = \int_0^{\hat d} \frac{H(t)}{h_{1}^m(u_{1},t)} dt$$
y
$$N_2 = \int_{\hat d}^{\bar d} \frac{H(t)}{h_{2}^m(u_{2},t)} dt.$$
Como es de esperar que se desprenda de la figura anterior, se da el caso de que: Dadas dos utilidades $(u_1,u_2)$ las funciones de oferta determinan $\hat d$ y $\bar d$ - donde $\bar d$ es el valor de $d$ donde $p_2(u_2,d) = r_a$ - y dados estos valores se pueden calcular las integrales para obtener $N_1(u_1,u_2)$ y $N_2(u_1,u_2)$ . Cuando el equilibrio es único estas ecuaciones
$$N_1 = N_1(u_1,u_2) \ \ \ N_2=N_2(u_1,u_2),$$
será invertible, de manera que las utilidades de equilibrio se pueden encontrar a partir de las utilidades exógenas $N_1$ y $N_2$ .
Prueba de la existencia y unicidad del equilibrio para un modelo con $K$ Las clases de ingresos y las restricciones estándar en las funciones de utilidad (sin asumir Cobb Douglas) se dan en
John Hartwick (1976) Estática comparativa de una economía residencial con varias clases Journal of Economic Theory 13, 396-413.
que también incluyen la estática comparativa del modelo.
La prueba de la existencia y la unicidad del equilibrio para un modelo también se da en
Fujita (1989) Teoría económica urbana: Uso del suelo y tamaño de la ciudad
que también ofrece un algoritmo para resolver el equilibrio.
Ver también
Puga y Duranton (2015) Uso del suelo urbano
para discutir los principales resultados de esta y otras extensiones y la relevancia empírica de los modelos (pero no una exposición detallada).
Nota sobre la oferta de viviendas: En lugar de suponer que la vivienda viene dada exógenamente, podría haber seguido a Brueckner (1989) y suponer que la tierra viene dada exógenamente $L(d)$ y que la vivienda se produzca mediante una producción de rendimientos constantes a escala en régimen de competencia perfecta utilizando el capital y la tierra, siendo la oferta de capital infinitamente elástica al precio y teniendo el precio $r_K$ en cuyo caso la vivienda suministrada es una función de $d$ a través de $p(d)$ . Así que la oferta de vivienda es una función del precio $H(p)$ pero a cualquier distancia $d$ el precio que los residentes están dispuestos a dar se establece mediante la función de oferta, que es una función de $d$ por lo tanto, de cualquier manera obtenemos $H(d)$ .
Aquí hay un código R realmente rápido que implementa el algoritmo de solución en Fujita (1989):
library(rootSolve)
a <- 0.35
t <- 200
w <- c(6000,12000)
N <- c(500,500)
J <- 2
x <- rep(1,J+1)
u <- rep(170,J)
# Function to make bid-max lot size for agent of type j
# with income and utility (w_j,u_j).
# Bid-max lot size is a function of distance to center d
# given type specifics (w_j,u_j).
make_g <- function(u_j,w_j,t,a)
{
g <- function(d)
{
nominator <- a*u_j^(1/a)
denominator <- (w_j-t*d)^((1-a)/a)*.6*pi*d
bid_lot <- nominator/denominator
# return should be 1/bid_lot
# but denominator can be 0 so do not calculate it
# and use it as denominator instead
denominator <- ifelse((w_j-t*d)>0,denominator,0)
return(denominator/nominator)
}
return(g)
}
# Solve the integral of g with respect to r from x_L = x_j to x_U = x_j+1
# such that the integral equals N_j
# Initiate with j=1 so x_l is set to 0 and u_j is some guess
j <- 1
x_L <- x[j]
u_j <- u[j]
# Get exogenous income and population size for relevant segment
# of population.
w_j <- w[j]
N_j <- N[j]
g <- make_g(u_j,w_j,t,a)
v <- function(x_U) {return(N_j-integrate(g,x_L,x_U)$value)}
x[j+1] <- uniroot(v,c(x_L+0.0001,500))$root
# Initiate j=2
j <- 2
# Find u_2 given I_1,I_2 at x and u_1
u[j] <- u[j-1]*(w[j] - t*x[j])/(w[j-1]-t*x[j])
x_L <- x[j]
u_j <- u[j]
# Get exogenous income and population size for relevant segment
# of population.
w_j <- w[j]
N_j <- N[j]
g <- make_g(u_j,w_j,t,a)
v <- function(x_U) {return(N_j-integrate(g,x_L,x_U)$value)}
x[j+1] <- uniroot(v,c(x_L+0.0001,500))$root
# Calculate price at x[j+1]
j <- 3
p_edge <- ((w[j-1] - t*x[j])/u[j-1])^(1/a)
x
u
p_edge
p_max <- (w[1]/u[1])^(1/a)+10
plot(x[1]:(x[J+1]+1),type="n",ylim=c(0,p_max),ylab="housing price",xlab="distance to city center")
colors <- c("blue","red")
for (j in 1:J)
{
x_L <- x[j]
x_U <- x[j+1]
d <- seq(0,x[J+1],length.out=100)
u_j <- u[j]
p <- ((w[j] - t*d)/u_j)^(1/a)
points(d,p,type="l",col=colors[j])
}
abline(v=x[2],col="grey")
abline(h=p_edge,col="black")
legend(12,20000,c("bid function (low income)","bid function (high income)","sorting threshold",
"land rent"),
col=c("blue","red","grey","black"),cex=0.7,bty="n",pch=24)
#savePlot("monocentric.jpg",type="jpg")
