Integral del cuadrado del movimiento browniano utilizando la definición de varianza

Question

Dejemos que $B = \{ B(t); t \ge 0\}$ y que $Z = \{ Z(t); t \ge 0 \}$ donde $$Z(t) = \int_0^t B^2(s) ds.$$ ¿Cómo podemos encontrar $E[Z(t)]$ y $E[Z^2 (t)]$ para obtener la varianza $Var [Z^2(t)] = E[Z^2 (t) ] - E[Z(t)]^2$

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Mi pregunta es si es posible resolver el problema utilizando la definición de varianza encontrando $E[Z^2(t)]$ y $E[Z(t)]^2$ ¿sin usar necesariamente el ito? Me gustaría que alguien me ayudara.

Answer 1

Según la pista, primero se escribe

$$\begin{align*} \mathbb{E} \left [\left (\int_{0}^{t} W_{s}^{2}\, ds \right )^{2} \right ] &= \mathbb{E} \left [\left (\int_{0}^{t} W_{s}^{2}\, ds \right )\left (\int_{0}^{t} W_{u}^{2}\, du \right ) \right ] \\ &= \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{t} W_{s}^{2}W_{u}^{2}\, du \, ds \right ] \\ &= \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} W_{s}^{2}W_{u}^{2}\, du \, ds \right ] + \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{s}^{t} W_{s}^{2}W_{u}^{2}\, du \, ds \right ] \\ &= \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} W_{s}^{2}W_{u}^{2}\, du \, ds \right ] + \mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{u} W_{s}^{2}W_{u}^{2}\, ds \, du \right ] \\ &= 2\mathbb{E} \left [\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} W_{s}^{2}W_{u}^{2}\, du \, ds \right ] \\ &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} \mathbb{E}[W_{s}^{2}W_{u}^{2}]\, du \, ds. \end{align*}$$

Ahora calcula (para $u<s$ ) $$\begin{align*} \mathbb{E}[W_{u}^{2}W_{s}^{2}] &= \mathbb{E}\left [W_{u}^{2} \left ((W_{s}-W_{u})^{2} + 2W_{u}(W_{s}-W_{u}) + W_{u}^{2} \right )\right ] \\ &= \mathbb{E}[W_{u}^{2}]\mathbb{E}[W_{s-u}^{2}] + 2\mathbb{E}[W_{u}]\mathbb{E}[W_{s-u}] + \mathbb{E}[W_{u}^{4}] \\ &= u(s-u)+3u^{2} \\ &= 2u^{2} + us. \end{align*}$$

Su respuesta será entonces $$\begin{align*} \mathbb{E} \left [\left (\int_{0}^{t} W_{s}^{2}\, ds \right )^{2} \right ] &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} \mathbb{E}[W_{s}^{2}W_{u}^{2}]\, du \, ds \\ &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} 2u^{2}+us \, du \, ds \\ &= 2\int_{0}^{t} \frac{7}{6}s^{3}\, ds \\ &= \frac{7}{12}t^{4}. \end{align*}$$

Answer 2

El hallazgo de la variación se debe a nuestros benévolos contribuyentes. $$\begin{align*} \mathrm{Var} [Z^2(t)] & = \mathrm{E} \ [Z^2 (t) ] - \mathrm{E}\ [Z(t)]^2 \\ & = \mathrm{E}\ \left [\left (\int_{0}^{t} B_{s}^{2}\, ds \right )^{2} \right ] - \mathrm{E}\ \left[\int_0^t B^2(s) ds\right]^2\\ &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} \mathrm{E} \ [B_{s}^{2}B_{u}^{2}]\, du \, ds - \left(\int_0^t \mathrm{E}\ [B^2(s)] \right)^2 ds\\ &= 2\int_{0}^{t} \int_{0}^{s} (2u^{2}+us) \, du \, ds - \left([0.5s^2]_0^{t} \right)^2\\ &= \frac{7}{12}t^{4} - \frac{1}{4}t^4\\ &= \frac{1}{3}t^{4} . \end {align*}$$