Distribución de tiempo integral de movimiento Browniano cuadrado (donde el movimiento Browniano se produce en la raíz cuadrada del tiempo)?

Question

Vamos a $I_t = \int_0^t W_{\sqrt{u}}^2du$. ¿Cuál es la distribución de los $I$?

Si recuerdo correctamente, si el movimiento Browniano lugar de eso, fueron $W_u$, entonces sería $I_t \sim N\left(\frac{t^2}{2},\frac{t^4}{3}\right)$.

Traté de hacer un simple cambio de variables con $v = \sqrt{u}$, pero esto genera un nuevo término en la ecuación que no estoy seguro de cómo manejar (creo que se convierte en $\int_0^\sqrt{t} 2v W_v^2dv$, pero debido a la líder de $2v$ coeficiente, no sé cómo relacionar esto con el resultado anterior).

Answer 1

Integral $I_t$ no parecen seguir la distribución normal.

$\newcommand{\d}{\mathrm{d}}$Definen $I_t = \int_0^{t} W_{\sqrt{u}}^2 \d u$ y dejar que $u = v^2$ como ya se ha sugerido.

Por integración por partes

$$ I_t = \int_0^{\sqrt{t}}W_v^2 \d v^2 = \underbrace{W_v^2 v^2\big|_0^{\sqrt{t}}}_{tW_{\sqrt{t}}^2} - \underbrace{\int_0^{\sqrt{t}}v^2\d W_v^2}_{J_t}, $$

donde $\d W_v^2 = 2W_v \d W_v + \d v$, por lo tanto,

$$ J_t = \underbrace{\int_0^{\sqrt{t}} 2W_v v^2 \d W_v}_{K_t} + \underbrace{\int_0^{\sqrt{t}}v^2 \d v}_{\tfrac{1}{3}t^{3/2}} $$

Ahora definir $f(v, x) = vx^2$ y aplicar la fórmula de Itô:

\begin{align} &\d(v W_v^2) {}={} W_v^2 \d v + 2vW_v \d W_v + \tfrac{1}{2}(2v)\d v\\ \Rightarrow{}& \sqrt{t}W_{\sqrt{t}}^2{}={}\int_0^{\sqrt{t}} W_v^2 \d v + K_t + \int_0^{\sqrt{t}}v\d v\\ \Rightarrow{}& K_t = \sqrt{t}W_{\sqrt{t}}^2-\tfrac{1}{2}t \int_0^{\sqrt{t}} W_v^2 \d v, \end{align}

por lo tanto

\begin{align} I_t {}={}& tW_{\sqrt{t}}^2 - K_t - \tfrac{1}{3}t^{3/2} \\ {}={}&(t - \sqrt{t})W_{\sqrt{t}}^2 + \tfrac{1}{2}t - \tfrac{1}{3}t^{3/2} + \int_0^{\sqrt{t}} W_v^2 \d v \end{align}

Tenga en cuenta que $W_{\sqrt{t}}^2$ sigue una distribución chi-squared, el segundo y tercer términos son deterministas, y el integrands de la pasada legislatura, $W_v^2$ sigue una distribución chi-squared demasiado.

Con respecto a la última integral, usted puede comprobar fuera de esta cuestión en UL.