La riqueza en la función de utilidad

Question

Supongamos que existe un hogar representativo de masa unitaria que vive para siempre. Las preferencias están dadas como: $$\sum\beta^tu(c_t,k_{t-1})$$ La tecnología se da como: $$k_{t+1}=AF(K_t,L_t)+(1-\delta)K_t-c_t$$ La función de producción tiene rendimientos constantes a escala.

El programa dinámico del hogar es: $$V (k, z) = \max u(c, z) + \beta V (k', k) + \lambda [R k + w c k']$$ o bien $L=\beta^tU(c_t,k_{t-1})+\lambda_t[R_t k_t + w_t c_t k_{t+1}]$

FOC: $U_c(c,z)=\beta R'U_c(c',z')+\beta^2U_z(c'',z'')$ , donde $z'=k$ .

Mi pregunta es ¿por qué se escribe así el capital social en estado estacionario? $$1=\beta[f'(k)+1-\delta]+\beta^2\frac{u_z(f(k)-\delta k,k)}{u_c(f(k)-\delta k,k)}$$

Answer 1

Dos puntos:

1. Como señala Richard Hardy en el comentario En realidad, no hay ninguna representación de la riqueza en la pregunta.

2. Tengo mucha curiosidad por saber de qué modelo se trata. No se me ocurre ningún modelo que incluya el capital retardado en la función de utilidad. Sin embargo, la forma de Euler es muy parecida a un modelo de efectivo adelantado (lo cual es interesante).

Siguiendo la forma en que has escrito el Bellman, pero deshaciendo el multiplicador, ya que según el problema, la restricción obliga.

$V[k_t, k_{t-1}] = U[AF[k_t] +(1-\delta)k_t, k_{t-1}]+\beta V[k_{t+1}, k_t]$

FOC(con respecto a $(k_{t+1})$ ):

$U_1[c_t, k_{t-1}]=\beta V_1[k_{t+1}, k_t]$

Condición de la envolvente 1 (con respecto a $k_t$ ):

$V_1[k_t, k_{t-1}] = U_1[c_t, k_{t-1}](AF_1[k_t] + 1-\delta) + \beta V_2[k_{t+1}, k_t]$

Condición de la envolvente 2 (con respecto a $k_{t-1}$ ):

$V_2[k_t, k_{t-1}] = U_2[c_t, k_{t-1}]$

Iterar las condiciones de la envolvente hacia adelante por un período y utilizar el FOC para obtener (suponiendo un consumo finito):

$U_1[c_t, k_{t-1}]/U_1[c_{t+1}, k_{t}] = \beta (AF_1[k_{t+1}] + 1-\delta) + \beta^2 U_2[c_{t+2}, k_{t+1}]/U_1[c_{t+1}, k_{t}]$

Ahora se impone el estado estacionario (denotando en el estado estacionario $k_{t+1}=k_t=k$ ) y lo has hecho:

$1 = \beta (AF_1[k] + 1-\delta) + \beta^2 \frac{U_2[AF[k]-\delta k, k]}{U_1[AF[k]-\delta k, k]} $