Matriz de covarianza y descomposición de Cholesky

Question

Estoy simulando una opción de spread con volatilidad estocástica utilizando la simulación de Monte Carlo. Tengo la matriz de covarianza definida positiva $$ \rho = \left( \begin{array}{cccc} 1 & \rho_{1,2} & \rho_{1,3} & \rho_{1,4} \\ \rho_{2,1} & 1 & \rho_{2,3} & \rho_{2,4} \\ \rho_{3,1} & \rho_{3,2} & 1 & \rho_{3,4}\\ \rho_{4,1} & \rho_{4,2} & \rho_{4,3} & 1 \end{array} \right) $$

que por definición puede ser descompuesta en el producto de dos matrices mediante descomposición de Cholesky de la siguiente manera: $$ \rho = L L^T $$ donde $T$ indica la matriz transpuesta.

En la literatura, esta factorización produce un sistema de ecuaciones de la forma: $$ x_1 = z_1 \\ x_2 = \rho_{1,2} z_1 + \sqrt{1 - \rho_{1,2}^2z_2} \\ x_3 = ... $$

Mi pregunta es la siguiente. ¿Por qué ignoramos la matriz $L^T$ al escribir las ecuaciones finales para las desviaciones aleatorias? ¿Por qué este enfoque no conduce a ecuaciones incorrectas, dado que estamos 'ignorando' parte del sistema? Parece que estamos olvidando la mitad del problema.

Sé que esta es la forma correcta de calcular las desviaciones aleatorias, pero me gustaría saber por qué este enfoque funciona.

Answer 1

No estoy seguro si entendí tu pregunta correctamente, pero de todas formas intentaré responderla.

Si tienes un vector aleatorio normal estándar $z \sim N(\mathbb{0},I_n)$ (donde $z,0 \in \mathbb{R}^{n\times1}$ y $I_n \in \mathbb{R}^{n\times n}$ es la matriz identidad) y deseas transformarlo en un normal multivariado $x \sim N(\mu,\Sigma)$, lo haces de la siguiente manera: Si $L$ es la factorización de Cholesky de $\Sigma$, $\Sigma = LL^T$, entonces

$$ x = \mu + Lz.$$

¿Por qué? Porque al querer verificar si realmente terminas con una matriz de covarianza $\Sigma$ en esta construcción, funciona así:

$$\mathbb{E}[(x-\mathbb{E}(x))^T(x-\mathbb{E}(x))] = \mathbb{E}[(Lz)^T(Lz)]=L^T\mathbb{E}[z^Tz]L=L^TI_nL = \Sigma.$$

O pensemos de la otra manera: Si deseas ver qué matriz debes multiplicar por $z$ para crear una distribución con matriz de covarianza $\Sigma$, resulta ser $L$.

Tal vez una cosa más: Algunos libros incluso definen el normal multivariado de la siguiente manera: Supongamos que tienes un vector $z$ de normales estándar independientes y una matriz $L$ tal que $LL^T$ es SPD, entonces la distribución de $x=\mu + Lz$ se llama normal multivariada con $\mu$ y $LL^T=\Sigma$.