Forma de la curva de contrato en una economía Edgeworth-Box

Question

Me he dado cuenta de que las curvas de contrato de las funciones de preferencia $u_{1,2}=(x_1x_2)^{1/2}$ y $u_{1,2}=x_1(x_2)^{1/2}$ es la diagonal de la caja de Edgeworth. Me ha surgido una pregunta general y no consigo resolverla.

¿La curva de contrato es la diagonal de la Caja de Edgewroth si y sólo si las preferencias del consumidor son idénticas, pero no es necesario que sea indiferente entre los dos bienes?

Answer 1

La respuesta es no tanto a la parte si como a la parte solo si.

Si el contraejemplo:
Para $u_{1,2} = \ln x + y$ y las cantidades agregadas (4,4) es fácil comprobar que la asignación (1,1),(3,3) no es Pareto-óptima.

Sólo si el contraejemplo:
Para $u_{1} = 2x + y$ y $u_{2} = \min(x,y) $ y las cantidades agregadas (4,4) la curva del contrato es la diagonal.

Answer 2

Esta respuesta supone que entiendes la propiedad que define a las funciones homotéticas, es decir, que la pendiente de sus curvas de nivel es igual para una relación de entrada dada. Primero entendamos qué es la diagonal; es una línea que representa la relación de dotación $X_1:X_2$ en la economía. Que la curva de contrato sea lineal equivale a que esté en la diagonal, ya que las curvas de contrato deben empezar y terminar en los orígenes.

¿Por qué dices que el par de funciones de utilidad dado tiene curva de contrato lineal? No has mencionado ninguna proporción de dotación específica, así que supongo que estás preguntando cuándo un par de funciones de utilidad tiene una curva de contrato lineal para cualquier proporción de dotación. La ecuación de la curva de contrato con la relación de dotación $X_1:X_2$ y funciones de utilidad diferenciables $A,B$ es: $$ \mathrm{MRS}_A = \mathrm{MRS}_B \tag1 $$ Para su ejemplo, $$\frac{0.5 x_1^{-0.5} x_2{}^{0.5}}{0.5 x_1{}^{0.5} x_2^{-0.5}} = \frac{(X_2-x_2)^{0.5}}{0.5 (X_1 - x_1) (X_2 - x_2)^{-0.5}} \tag 2 $$ Trace lo anterior en una calculadora gráfica como Desmos, y podrá ver que la curva del contrato no es lineal para ningún ratio de dotación. Para ser más riguroso, se puede resolver para $x_1$ en términos de $x_2$ para ver si la función es lineal, pero supongo que esto no sería posible hacerlo si la curva del contrato fuera quíntica o superior (falta de solución de forma cerrada de la quíntica).

La curva de contrato de cualquier función de utilidad homotética estará en un lado de la diagonal o completamente en la diagonal; estará completamente en la diagonal si existe al menos un punto óptimo en la diagonal. Véase En un diagrama de caja, ¿por qué el locus de eficiencia se encuentra en un lado de la diagonal, si ambos sectores tienen una función de rendimientos constantes a escala? . El LHS de (1) es una constante para un $X_1 : X_2$ y lo mismo ocurre con el lado derecho, si ambas funciones son homotéticas. (1) se mantendrá si estas constantes son iguales. Estas constantes son iguales cuando para un precio dado, ambos consumidores consumen la misma proporción de productos. Si $A$ consume $2x_1$ de $x_2$ Así que $B$ es decir, la preferencia relativa de un producto es la misma para ambos consumidores. Si las constantes son iguales y, por tanto, (1) se mantiene para $X_1:X_2$ significa necesariamente que la curva del contrato se encuentra en la diagonal. Esta es la condición suficiente para que la curva de contrato sea lineal, y cualquier función que satisfaga esta condición, tendrá una curva de contrato lineal para cualquier ratio de dotación, porque no asumimos ningún ratio específico (ver más abajo, donde sí asumimos).

Aunque esto no es una condición necesaria. La respuesta de Giskard muestra una función no diferenciable, a saber $\min(x,y)$ (se trata de una función de utilidad de Leontief) donde la curva de contrato es lineal. Pero esta función específica tendrá una curva de contrato lineal sólo si la relación de dotación es de 1:1; (4:4) en el caso de Giskard. Esto se debe a que el punto de inflexión (que es el punto óptimo de las funciones de utilidad de Leontief) se encuentra en $x_1=x_2$ . Si utilizaron una función como $\min(2x_1,x_2)$ la proporción de la dotación tendría que ser $1:2$ .

(EDIT) En (2) había entendido mal la función de utilidad de $A$ ser $\sqrt{x_1x_2}$ y la de $B$ como $x_1\sqrt{x_2}$ . Parece que estabas proporcionando 2 ejemplos de ambos consumidores con la misma función de utilidad, mientras que yo lo entendí como 1 ejemplo de 2 consumidores con diferentes funciones de utilidad. Si sustituyes la misma función de utilidad, entonces sí, las curvas de contrato son lineales en tu ejemplo. Sigo dejando esta respuesta, porque da la condición suficiente de que los consumidores tengan distinta utilidad, que es una respuesta más general.