En un diagrama de caja, ¿por qué el lugar de eficiencia se sitúa a un lado de la diagonal, si ambos sectores tienen una función de rendimientos constantes a escala?

Question

Lo siguiente es lo que tengo entendido, hasta ahora. Si medimos el trabajo en $x$ -y el capital en el $y$ -eje, la pendiente de la diagonal de la caja es la relación capital-trabajo $K/L$ en la economía. Veamos $A$ sea el bien recto y $B$ el bien al revés.

Si el lugar geométrico de la eficiencia se sitúa totalmente a la derecha de la diagonal, es decir, si consideramos cualquier punto no angular del lugar geométrico, la pendiente de la línea de la relación capital-trabajo en el sector $A,$ $K_A/L_A < K/L$ . Además, en el sector $B,$ $K_B/L_B > K/L$ . Esto implica $K_A/L_A < K_B/L_B$ es decir, $A$ es siempre relativamente intensiva en mano de obra. Por lo tanto, siguiendo esta lógica, un locus de eficiencia situado a un lado de la diagonal sólo significa que no se está produciendo una inversión de la intensidad de los factores.

Pero según Giancarlo Gandolfo Teoría y política del comercio internacional Si las funciones de producción de ambos sectores presentan rendimientos constantes a escala, el locus de eficiencia se situará siempre a un lado de la diagonal. Esto implica que la función de rendimientos constantes a escala nunca presenta inversiones de la intensidad de los factores, pero no es cierto; el mismo libro muestra matemáticamente que las funciones de producción CES pueden presentarlas alguna vez.

¿En qué me equivoco? ¿Y por qué los rendimientos constantes a escala implican un lugar de eficiencia a un lado de la diagonal?

Answer 1

He comprendido por qué los rendimientos constantes a escala implican locus de eficiencia situados a un lado de la diagonal, pero no por qué esto no implica que no se produzcan inversiones de intensidad de los factores.

Mi razonamiento es el siguiente. La propiedad definitoria no son los rendimientos constantes a escala, sino la homotecia. Si no se sitúa totalmente en un lado, debe cruzar la diagonal en un punto, lo que implica que debe haber un punto óptimo en la diagonal, es decir, que hay un par de isocuantas tales que sus pendientes son iguales en la diagonal. Pero si lo primero es cierto, por propiedad de homotecia, las pendientes de las isocuantas deben ser iguales en toda la diagonal; por tanto, todo punto óptimo debe estar en la diagonal. Ahora bien, hemos llegado a una contradicción. El lugar no puede cruzar la diagonal y al mismo tiempo estar enteramente en la diagonal. Esto concluye mi razonamiento.