Calcular la correlación entre dos subcarteras y la cartera combinada

Question

Tengo dos subcarteras (llamémoslas cartera a y cartera b - una cartera es sólo un vector de pesos que suman 1) que se combinan para crear una cartera total. También tengo una matriz de covarianza de 2 x 2.

 | Variance a     Covariance ab |   
 | Covariance ab  Variance b    |

Tomando root cuadrada de las diagonales de esta matriz de covarianza y pude crear una matriz de correlación de 2 x 2 para poder obtener la correlación entre la cartera a y b.

Lo que me gustaría saber es la correlación de la cartera a con la cartera total (es decir, la cartera a y la cartera b combinadas) y la correlación de la cartera b con la cartera total.

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Debo mencionar que las carteras a y b tienen el mismo universo invertible. Así que digamos que nuestro universo invertible es de 2000 acciones. la cartera a es un vector de 2000 x 1 al igual que la cartera b. La fila i de ambos vectores corresponde a la misma empresa que está vinculada a otra matriz.

  Company             Portfolio a        portfolio b
  ABC                 0                  0.25
  DEF                 0.1                0.05
  GHJ                 0.05               0.05
  IJK                 0.12               0
  ...                 ...                ...
  2000th Company      0.03               0.02

  Total               1                  1

La matriz de covarianza de 2 x 2 se calculó de la siguiente manera,

   P' * COV * P

   P is a 2000 x 2 matrix column 1 is portfolio a, 2nd column is portfolio b
   COV is a 2000 x 2000 matrix of all the stock variance & covariances.

Editar En referencia al post del usuario12348. Otro puesto proporciona una solución alternativa, mientras que la solución de Marco también funciona.

Answer 1

Para aclarar la notación, se tiene un universo de $n=2000 \space$ acciones y dos vectores de cartera $\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^{n}$ con $\left\|\mathbf{a}\right\|_{1}=\left\|\mathbf{b}\right\|_{1}=1$ . Además, tiene estimadores para la verdadera varianza $\operatorname{Var}\left[\mathbf{a}\right]$ resp. $\operatorname{Var}\left[\mathbf{b}\right]$ y la Covarianza $\operatorname{Cov}\left[\mathbf{a},\mathbf{b}\right]$ .

Normalmente se multiplican las ponderaciones de la cartera por el vector de rentabilidad aleatoria $\boldsymbol{\mu}\in\mathbb{R}^{n}$ para obtener el rendimiento de la cartera $p_{\mathbf{a}} := \mathbf{a}^{T}\boldsymbol{\mu}$ . Esta rentabilidad de la cartera es ahora una variable aleatoria y tiene sentido hablar de su varianza, etc. Abusando un poco de la notación se puede llamar al valor de la cartera $a$ que ahora es un número real. Lo mismo ocurre con el valor de la cartera $b$ .

Para una nueva cartera $\alpha{a}+\beta{b}=:{c}\in\mathbb{R}\space$ con pesos $\alpha+\beta=1$ quieres saber $\operatorname{Var}\left[{c}\right]$ .

Para dos vectores aleatorios correlacionados se cumple lo siguiente ( http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance#Properties ): $$\operatorname{Var}\left[{c}\right] = \operatorname{Var}\left[\alpha{a}+\beta{b}\right] = \alpha^{2}\operatorname{Var}\left[{a}\right] + \beta^{2}\operatorname{Var}\left[{b}\right] + 2\alpha\beta\operatorname{Cov}\left[{a},{b}\right]$$

También puedes ver esto si escribes la forma cuadrática de tu Matriz de Varianza-Covarianza de las carteras ${a}, {b}$ con el correspondiente vector de ponderación que forma la cartera ${c}$ . Para ello, tenga en cuenta que $$ {c} = \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}^{T} \begin{pmatrix} {a} \\ {b} \end{pmatrix} = \alpha{a}+\beta{b} $$ se mantiene. Por lo tanto, se puede escribir $$\operatorname{Var}\left[{c}\right] = \operatorname{Var}\left[ \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}^{T} \begin{pmatrix} {a} \\ {b} \end{pmatrix}\right] \overset{(1)}{=} \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}^{T}\operatorname{Var}\left[ \begin{pmatrix} {a} \\ {b} \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}$$ $$ = \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}^{T} \begin{pmatrix} \operatorname{Var}\left[{a}\right] & \operatorname{Cov}\left[{a},{b}\right] \\ \operatorname{Cov}\left[{a},{b}\right] & \operatorname{Var}\left[{b}\right] \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}$$ $$ = \alpha^{2}\operatorname{Var}\left[{a}\right] + \beta^{2}\operatorname{Var}\left[{b}\right] + 2\alpha\beta\operatorname{Cov}\left[{a},{b}\right]\textrm{,} $$ con (1) el principio matricial de cómo sacar una constante de la Varianza, ver ( http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance#A_more_general_identity_for_covariance_matrices ).

Usted está interesado en $$ \operatorname{Cov}\left[{a},{c}\right] = \operatorname{Cov}\left[{a},\alpha{a}+\beta{b}\right]$$ $$ \overset{(2)}{=} \alpha\operatorname{Cov}\left[a,a\right]+\beta\operatorname{Cov}\left[a,b\right] = \alpha\operatorname{Var}\left[a\right]+\beta\operatorname{Cov}\left[a,b\right] \textrm{.} $$ La igualdad (2) se desprende de la definición de Covarianza y de algunas manipulaciones: $$ \operatorname{Cov}\left[{a},{c}\right] = \operatorname{Cov}\left[{a},\alpha{a}+\beta{b}\right]$$ $$= \mathbb{E}\left[\left(a-\mathbb{E}\left[a\right]\right)\left(\alpha{a}+\beta{b} - \mathbb{E}\left[\alpha{a}+\beta{b}\right]\right)\right]$$ $$ = \mathbb{E}\left[\left(\alpha{a^{2}}-2\alpha{a}\mathbb{E}\left[a\right]+\alpha\mathbb{E}\left[a\right]^{2}\right) + \left(\beta{ab}-\beta{a\mathbb{E}\left[b\right]}-\beta{b}\mathbb{E}\left[a\right]+\beta\mathbb{E}\left[a\right]\mathbb{E}\left[b\right]\right)\right]$$ $$ = \mathbb{E}\left[\alpha\left(a-\mathbb{E}\left[a\right]\right)^{2} + \beta\left(a-\mathbb{E}\left[a\right]\right)\left(b-\mathbb{E}\left[b\right]\right)\right] = \alpha\operatorname{Var}\left[{a}\right] + \beta\operatorname{Cov}\left[a,b\right] $$ Se puede obtener la Correlación a partir de la Covarianza de la forma obvia, dividiendo la Covarianza por root cuadrada del producto de las Varianzas de ambas variables aleatorias.

Espero no haber calculado mal y que esa sea la respuesta que buscabas.

Answer 2

Se puede obtener la covarianza entre 2 carteras multiplicando el vector de filas, que contiene las ponderaciones de la cartera A con la matriz de varianza-covarianza de los activos y, a continuación, multiplicando con el vector de columnas, que contiene las ponderaciones de los activos de la cartera B.

Igualmente se puede establecer una nueva cartera A+B creando un nuevo vector columna que contenga las ponderaciones combinadas de los vectores columna A y B y realizar lo mismo que en el caso anterior para obtener la covarianza entre A y A+B. Lo mismo sigue para B y A+B.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Sean n acciones, 2 carteras a y b. c es una cartera combinada de la cartera a y la cartera b. $\Sigma $ es la matriz de varianza-covarianza de los n activos. Los vectores de pesos para las carteras a y b son $$w_{pa},w_{pb}\in\mathbb{R}^{n} ,$$ $$\left\|w_{pa}\right\|_{1}=\left\|w_{pb}\right\|_{1}=1 $$

entonces $$ Var(a)= w_{pa}' \Sigma w_{pa} $$ $$Var(b)= w_{pb}' \Sigma w_{pb}$$ $$Cov(a,b)=w_{pa}' \Sigma w_{pb} $$

Definamos la cartera combinada c de forma que su vector de pesos $$w_{pc}\in\mathbb{R}^{n},$$ $$\left\|w_{pc}\right\|_{1}=1 $$ $$\alpha w_{pa}+\beta w_{pb}=:w_{pc}\in\mathbb{R}\space$$ con pesos $\alpha+\beta=1$

Entonces tenemos en forma de matriz

$$\begin{pmatrix} Cov(a,c) \\ Cov(b,c) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} Var(a) & Cov(a,b) \\ Cov(a,b)) & Var(b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$ También puede expresarse en términos de las ponderaciones de los activos en las subcarteras como: $$\begin{pmatrix} Cov(a,c) \\ Cov(b,c) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha w_{pa}' \Sigma w_{pa} + \beta w_{pa}' \Sigma w_{pb} \\ \beta w_{pb}' \Sigma w_{pb} + \alpha w_{pa}' \Sigma w_{pb} \end{pmatrix}$$

Esto concilia los cálculos de la matriz en solución a esta cuestión y lo que @MarcoBietig ha publicado aquí. Aquí está solución de cartera multivariante .

Answer 4

Utilizar el estimador Ledoit - Wolf en lugar de la matriz cov normal