Quasi Random Monte Carlo en optimización de cartera en m.v.

Question

No especificar una matriz de correlación para los rendimientos aleatorios de la simulación de Monte Carlo es equivalente a asumir que no hay correlación o un coeficiente de correlación de cero, lo cual afectará seriamente y adversamente los resultados de la simulación. En la metodología de Asignación de Activos Simulados de Monte Carlo Cuasi-Aleatorio, los valores ya no se extraen completamente al azar de una distribución, sino que se extraen de manera intencional según un conjunto de suposiciones consistentes de clase de activo. [Optimización de cartera cuantitativa, asignación de activos y gestión de riesgos - Mikkel Rassmussen - 2003]

Después de haber aprendido sobre la metodología de Monte Carlo "simple" en el contexto de la optimización de cartera de varianza media (Monte Carlo (resampling) en la optimización de cartera de m.v.) entendí que una mejora importante sería considerar la matriz de covarianza/correlación de los activos mientras se extraen muestras aleatorias de rendimientos.

Todos los documentos y artículos sobre el enfoque de Monte Carlo Cuasi Aleatorio que he sido capaz de encontrar y leer hasta ahora asumen que los rendimientos de los activos están distribuidos normalmente:

• Uno genera muestras directamente de la distribución normal multivariante (que se especifica mediante un vector de medias y usualmente mediante una matriz de covarianza).
• Uno genera muestras para cada activo de la distribución normal (especificada por la media y la desviación estándar) y luego las multiplica por una matriz $C$ tal que $C \cdot C^T$ sea igual a la matriz de covarianza o correlación $\sum$ (introduciendo así un sesgo correlacionado).
• $C$ puede generarse según la descomposición de Cholesky o a partir de los autovalores y autovectores.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, mis preguntas son las siguientes:

1. Por supuesto, la suposición de que los rendimientos están distribuidos normalmente es bastante simplista, así que dado una muestra de rendimientos generados aleatoriamente no normalmente (es decir, de una distribución Gumbel ajustada - a través de la estimación de máxima verosimilitud), ¿es correcto aún multiplicarlos por la matriz $C$ o esta técnica funciona solo cuando los rendimientos se generan a partir de distribuciones normales? Si es así, ¿qué otras técnicas se deberían aplicar a rendimientos generados aleatoriamente no normales?
2. En cualquier caso, generar $C$ requiere primero el cálculo de la matriz de covarianza/correlación a partir de datos históricos. ¿Es preferible usar la matriz de correlación o de covarianza como entrada de, por ejemplo, la descomposición de Cholesky (por favor, especifique ventajas y desventajas de ambas)?

Gracias a todos.

Answer 1

...¿esta técnica funciona solo cuando se generan retornos a partir de distribuciones normales?

Sí y no. Multiplicarlos por $C$ producirá la correlación que querías, pero no conservará la distribución en general. Recuerda que cuando aplicamos $C$ a un vector de variables aleatorias i.i.d. $\boldsymbol{x}$ el elemento del vector resultante es $\sum_j C_{ij}x_j$, que es una suma ponderada de las variables aleatorias i.i.d. En general, la suma de dos (o más) variables aleatorias de alguna distribución no necesariamente sigue la misma distribución que sus componentes. Por ejemplo, esto no se cumple para la distribución uniforme, pero sí para la distribución normal. (¡Interesantemente también se cumple para la distribución de Cauchy!). Algunas de las distribuciones para las que esto funciona:

• Binomial
• Binomial negativa
• Poisson
• Normal
• Cauchy
• Gamma
• $\chi^2$

El hecho de que la varianza se mantenga proviene de $\mathbb{V}(C\boldsymbol{x}) = CC^T\mathbb{V}(x) = CC^TI = \Sigma $ donde para variables aleatorias estandarizadas i.i.d. $\boldsymbol{x}$ tenemos $\mathbb{V}(x) = I$.

¿Es preferible usar la matriz de correlación o la de covarianza?

El método requiere la matriz de covarianza. Si estás tratando de estimar esto a partir de datos entonces necesitamos recuperar una matriz positiva definida, lo cual tiene sus propios desafíos. Hay problemas con la estabilidad numérica y el rendimiento informático (cf. PCA como alternativa a la descomposición de Cholesky), así como asegurar el requisito de matriz positiva definida, que se abordan en esta pregunta: Análisis de componentes principales vs. Descomposición de Cholesky para MonteCarlo

¿cómo se debería lidiar con esto?

Nuevamente, varios de estos problemas se abordan en la respuesta al punto anterior.