Monte Carlo (remuestreo) en la optimización de la cartera de m.v.

Question

La inestabilidad y la alta sensibilidad de los resultados de la optimización pueden aumentarse añadiendo otra capa de metodología cuantitativa en forma de Simulación de Montecarlo. El nombre Monte Carlo alude a la naturaleza del procedimiento de simulación que, en esencia, consiste en extraer números aleatorios de una distribución, y luego utilizar los números aleatorios como entradas para un proceso matemático, en este caso la optimización de la cartera. [ Optimización cuantitativa de la cartera, asignación de activos y gestión de riesgos - Mikkel Rassmussen - 2003 ]

Actualmente estoy tratando de aplicar las técnicas de Monte Carlo en el contexto de la optimización de la cartera de varianza media.

Según lo que he aprendido hasta ahora el modelo más básico y simple es el "Resampling" y consiste en los siguientes pasos:

1. Para cada activo ajustar los rendimientos históricos (datos diarios, semanales o mensuales) con una distribución de la familia paramétrica (normal, t de Student, etc.) y obtener los parámetros específicos (media, varianza).
2. Para cada activo generar un rendimiento aleatorio de su distribución probabilística específica.
3. Realizar una optimización de la varianza media (cartera de tangencia que implica la maximización del índice de Sharpe) utilizando los rendimientos aleatorios generados para calcular los rendimientos esperados y la matriz de covarianza.
4. Repita el punto 2. y 3. por n veces.
5. Promedie los pesos de todas las carteras.

Mis preguntas son las siguientes:

1. ¿Cómo se deben calcular correctamente las estadísticas (rendimiento esperado, volatilidad esperada) de la cartera optimizada promediada final?
2. No me queda muy claro si hay que promediar los pesos de todas las carteras (punto 5.) de acuerdo con algunas técnicas o simplemente calcular la media simple. Si la primera, ¿cuáles son estas técnicas?
3. ¿Hay otras formas de mejorar el "remuestreo" aparte de probar diferentes distribuciones de probabilidad (es decir, generar retornos esperados no directamente de una distribución de probabilidad sino aplicando, por ejemplo, el Modelo de Índice Único - $R_{it}= \alpha_i + \beta_i \cdot R_{mt} + \epsilon_ {it}$ - el componente aleatorio en ese caso sería el ruido $ \epsilon_ {it}$ ?
4. ¿Tiene sentido generar un rendimiento aleatorio con una distribución de probabilidad multivariante (la media es la media de cada activo y la varianza es la matriz de covarianza)? Al hacerlo, me di cuenta de que todos los activos están siempre en la cartera.

Answer 1

Puede haber algunas diferencias en la forma de definir las cosas, pero sólo debería haber un conjunto de supuestos (es decir, para cada activo, debería haber sólo una rentabilidad esperada y una volatilidad esperada). Sus simulaciones, que generan posibles realizaciones de rendimientos, deberían ajustarse a estos rendimientos y volatilidades esperados.

Tampoco es necesario realizar varias simulaciones (aunque es una opción, sin duda). En su lugar, podría ejecutar una simulación y simplemente dividir los rendimientos simulados en múltiples muestras. Así que yo modificaría el procedimiento de la siguiente manera:

1. Establecer supuestos (rentabilidad, vols y correlaciones) para los activos.
2. Ajustar las distribuciones para cada activo.
3. Generar rendimientos aleatorios para los activos basándose en las hipótesis y distribuciones. Para simplificar la discusión, supongamos que hay dos activos y que decides simular 100 años de datos mensuales, por lo que ahora tienes una matriz de 1200 x 2 de rendimientos.
4. Dividirlos en submuestras. Supongamos que se decide utilizar 10 submuestras, entonces cada muestra es una matriz de 120 x 2 rendimientos.
   • Para cada muestra, dadas las ponderaciones, se puede calcular fácilmente la rentabilidad y la volatilidad acumuladas. Esto le permite utilizar las técnicas estándar de media-varianza para calcular las ponderaciones óptimas. Por supuesto, dadas las ponderaciones óptimas, también se tiene la rentabilidad y la volatilidad de la cartera.
5. Promediar los pesos/otras estadísticas de las muestras.

En cuanto a sus preguntas:

1. ¿Cómo se deben calcular correctamente las estadísticas (rendimiento esperado, volatilidad esperada) de la cartera final optimizada y promediada?

Como puede ver en el procedimiento descrito anteriormente, puede calcular las métricas relevantes (rendimientos, vols, etc.) para cada muestra. A continuación, puede tomar la media/mediana.

2. No me queda muy claro si hay que promediar las ponderaciones de todas las carteras (punto 5.) según algunas técnicas o simplemente computar la media simple. Si es lo primero, ¿cuáles son esas técnicas?

Normalmente se utiliza una media simple. No tengo claro que una técnica más sofisticada añada mucho valor, pero me interesaría conocer otros puntos de vista.

3. ¿Hay alguna forma de mejorar el "remuestreo" que no sea probar con diferentes distribuciones de probabilidad (es decir, generar rendimientos esperados no directamente a partir de una distribución de probabilidad, sino aplicando, por ejemplo, el Modelo de índice -
   • el componente aleatorio en ese caso sería el ruido )?

Hay mucho margen para incorporar modelos de retorno más realistas. Por lo general, se querría modelar la asimetría de los rendimientos, capturar las colas gruesas, etc. También se podrían tener en cuenta las correlaciones variables en el tiempo entre los activos. De hecho, también se podrían simular algunos rendimientos de factores subyacentes y luego asignar los rendimientos de los activos a estos factores (creo que esto podría ser a lo que estás aludiendo). Las posibilidades son infinitas. Es una cuestión de lo que su institución priorice en el proceso de asignación de activos.

4. Tiene sentido generar una rentabilidad aleatoria con una distribución de probabilidad multivariante (la media es la media de cada activo y la varianza es la matriz de covarianza)? Haciendo esto me he dado cuenta de que todos los activos están siempre en la cartera.

Sí, debe utilizarse un enfoque multivariante, ya que la dependencia entre los activos es un aspecto importante de la asignación de activos. Dar con soluciones de esquina no es inusual incluso para un ejercicio de remuestreo. Te recomiendo que mires si hay algo que puedas hacer en tus supuestos.

También recomiendo este informe: No normalidad de los rendimientos del mercado . No aborda específicamente el remuestreo, pero tiene un montón de buenas ideas que son muy relevantes.