Calcular la huelga desde el delta de Black Scholes

Question

Tengo una lista de deltas y sus correspondientes volatilidades en un mercado de divisas, pero quiero pasar de delta a precio de ejercicio. En esta pregunta se está discutiendo un problema similar

¿Cómo puedo calcular el precio de ejercicio o la volatilidad implícita a partir de un delta dado?

La forma en que lo entiendo, el precio de ejercicio se puede encontrar de esta manera:

¿Es correcto mi enfoque? Si es así, ¿podrían ayudarme a entender el término N(d_1), para poder proceder con el proceso de resolución?

Editar:
Básicamente quiero crear la sonrisa de volatilidad en un gráfico (strike, vol) a partir de datos encontrados por la función OVDV de Bloombergs:

Entonces quizás haya una forma más simple de hacerlo

Answer 1

Esto es un poco más complicado que la respuesta proporcionada anteriormente, ya que se trata de FX y la convención para determinar el precio de ejercicio importa.

https://www.researchgate.net/publication/275905055_A_Guide_to_FX_Options_Quoting_Conventions

La mayoría de los pares toman la prima en la moneda extranjera (es decir, en el lado izquierdo). Esto significa que estás pagando por una opción en el activo subyacente, como pagar por una opción de compra de IBM con acciones de IBM, y esas acciones pueden considerarse parte del delta. Como resultado, la mayoría de los pares utilizan la convención "incluir prima". Los detalles están en el documento de Wystup y deberías leerlo. Las matemáticas son fáciles y es agradable ver todo explicado para ti. Los únicos pares que "excluyen prima" son EURUSD, GBPUSD, AUDUSD, NZDUSD, por lo que calculan el delta de la forma habitual. También en FX para BBG, la convención es utilizar típicamente el delta al contado para vencimientos inferiores a un año y el delta a plazo para vencimientos >= 1 año. De lo contrario, la respuesta anterior de onlyvix está bien si asumes que la tasa de interés libre de riesgo extranjera es del 0.0%. El delta real es $e^{-r_ft}N(d1)$ en el caso de excluir la prima.

Answer 2

Solo para saltar a la solución del artículo mencionado:

Para una superficie de volatilidad de Delta $\Delta$ vs volatilidad $\sigma$, podemos calcular el precio de ejercicio $K$ con un activo subyacente $f$, $\phi$ es 1 para compra, -1 para venta y tiempo hasta el vencimiento $\tau$, que debería ser una fracción de año de días laborables:

$K = fe^{-\phi N^{-1}(\phi\Delta)\sigma\sqrt{\tau}+\frac{1}{2}\sigma^{2}\tau}$

Answer 3

Dado que $ \Delta_K = N(d_1) $, utiliza la función inversa normal $ N^{-1} $ (por ejemplo, NORM.INV en excel, norminv en matlab) para calcular $ d_1 = N^{-1} (\Delta_K) $. Luego utiliza álgebra para resolver $K$

Answer 4

Al parecer, tu objetivo final es obtener un vol asociado con cierta huelga y plazo. En Bloomberg, en realidad puedes hacer que la API haga ese "truco" por ti, incluyendo todas las convenciones (prima incluida/excluida; delta spot/forward...) y configuraciones que tengas en el terminal.

Para que la anulación de la huelga funcione, primero debes establecer la anulación de delta en 0 porque ese delta se utiliza de forma predeterminada y esa es la forma de excluirlo en la API.

=BDP("EURUSD Curncy","SP_VOL_SURF_BID","VOL_SURF_EXPIRY_OVR","20221030","VOL_SURF_CALLPUT_OVR","C","REFERENCE_DATE","20220324","VOL_SURF_DELTA_OVR","0","VOL_SURF_STRIKE_OVR=1.25")

Esto te da para la fecha 2022-03-24 la IVOL de la llamada EURUSD para el vencimiento del 2022-10-30 y una huelga de 1.25.

También puedes usar directamente plazos de la siguiente manera:

=BDP("GBPUSD Curncy","SP_VOL_SURF_MID","VOL_SURF_MTY_OVR=1D","VOL_SURF_CALLPUT_OVR=P","VOL_SURF_STRIKE_OVR=1.1","VOL_SURF_DELTA_OVR=0")

Si realmente quieres hacerlo tú mismo, puedes ver esta respuesta que muestra en fórmula y código cómo Bloomberg resuelve la huelga a partir de delta. Ten en cuenta que esto no funciona si se ajusta la prima, mientras que la fórmula de Excel de arriba simplemente hace todo correctamente por ti y extrae la IV correcta para cualquier huelga y plazo que desees.