¿Cuál es la relación de la curva de Engel con la elasticidad de la demanda de ingresos? ¿es la pendiente de la curva de Engel igual a la elasticidad del ingreso?

Question

Aprendí que $\frac{\Delta x}{\Delta m} \gt 0$ para bienes normales, $\frac{\Delta x}{\Delta m} \lt 0$ para bienes inferiores, $\frac{\Delta x}{\Delta m} \gt 1$ para bienes de lujo y $0 \lt \frac{\Delta x}{\Delta m} \lt 1$ para bienes necesarios (donde x es la cantidad de unidades de algún bien y m es el ingreso).

Ahora, al mirar la curva de Engel para preferencias homotéticas (es decir, Cobb-Douglas, sustitutos perfectos/complementos perfectos), entiendo que $\frac{\Delta x}{\Delta m} = 1$ para bienes homotéticos (por cierto, ¿es ese un término, "bienes homotéticos"?).

Dado que la pendiente de la curva de Engel es $\frac{\Delta m}{\Delta x_1}$ , me pregunto si $\left(\frac{\Delta m}{\Delta x_1}\right)^{-1}$ es una forma de determinar la elasticidad de la demanda, la cual, según mi entendimiento, lidia con los mismos valores exactos para categorizar bienes.

Entonces me pregunto si $\left(\frac{\Delta m}{\Delta x_1}\right)^{-1}$ es igual a la elasticidad del ingreso o si hay una forma de determinar la elasticidad del ingreso a partir de la curva de Engel.

Answer 1

Elasticidad de la demanda

Sea $q(y)$ la curva de Engel para un bien, es decir, da la cantidad demandada para un nivel dado de ingreso $y$ (manteniendo los precios fijos). Entonces, la elasticidad de la demanda respecto al ingreso está dada por: $$ \varepsilon^y_q = \frac{\partial q}{\partial y} \frac{y}{q} $$ Mide el cambio en puntos porcentuales en la demanda $q(y)$, debido a un aumento del 1$\%$ en el ingreso, $y$.

Si $\varepsilon^y_q \ge 0$ el bien es normal, si $\varepsilon^y_q < 0$, es inferior. Si $\varepsilon^y_q > 1$ es un bien de lujo, mientras que si $\varepsilon^y_q < 1$ el bien se llama necesidad. La demanda de bienes de lujo aumenta de manera más que proporcional en comparación con el ingreso. Los bienes necesarios aumentan menos que proporcionalmente.

La ventaja de usar la elasticidad $\varepsilon^y_q$, en lugar de la pendiente $\frac{\Delta q}{\Delta y}$ es que es independiente de unidades. Podemos ver esto de la siguiente manera: $$ \varepsilon^y_q = \underbrace{\dfrac{\partial q}{\partial y}}_{\dfrac{kilos}{Euros}} \underbrace{\dfrac{1}{q}}_{\dfrac{1}{kilos}} \underbrace{y}_{\dfrac{Euros}{1}} $$

Esto significa que $\varepsilon^y_q$ no cambia si expresamos los bienes o el ingreso en diferentes unidades. Por ejemplo, la elasticidad $\varepsilon^y_q$ no cambia si se expresa el ingreso en Euros o en Dólares. Además, la elasticidad no cambia si se expresa la demanda en kilos o libras. Por lo tanto, las elasticidades se pueden comparar fácilmente entre países y a lo largo de diferentes períodos de tiempo. La pendiente $\frac{\Delta q}{\Delta y}$ no tiene esta ventaja.

Preferencias homotéticas

Si las preferencias son homotéticas, la función de demanda es lineal en el ingreso: $$ q(y) = c y, $$ donde $c$ es una constante. De hecho, sustituir $y = 1$ en esta ecuación da: $$ q(1) = c, $$ así que $c$ es la demanda de ingreso unitario (la cantidad que comprarías si tuvieras 1 Euro). Esto significa que también podemos escribir: $$ q(y) = q(1) y. $$ Las curvas de Engel son líneas rectas que pasan por el origen y con pendiente $q(1)$: $$ \frac{\partial q(y)}{\partial y} = q(1). $$ Por lo tanto: $$ \varepsilon^y_q = \frac{\partial q}{\partial y}\frac{y}{q(y)} = \frac{q(1)y}{q(y)} = \frac{q(y)}{q(y)} = 1. $$ Por lo tanto, las curvas de demanda que surgen de preferencias homotéticas tienen elasticidad unitaria al ingreso.

Answer 2

1. El término bienes homotéticos no es ampliamente utilizado (que yo sepa).

2. No es cierto que cuando las preferencias son homotéticas $$ \frac{\Delta x}{\Delta m} = 1 $$ siempre se cumple. En cambio $$ \frac{\Delta x}{\Delta m} = \text{constante} \cdot \frac{1}{p_x} $$ (donde la constante es la proporción del ingreso gastado en $x$)
   o $$ \frac{\Delta x}{\Delta m} \frac{m}{x} = 1 $$ se cumple en este caso.

3. La pendiente de la curva de Engel $\frac{\text{d} x}{\text{d} m}$ y la elasticidad-ingreso están relacionados, ya que la pendiente aparece en la fórmula de elasticidad del ingreso (punto): $$ \eta_x(m) = \frac{\text{d} x}{\text{d} m}\frac{m}{x}. $$