¿Cómo funciona exactamente la elasticidad se refieren a la pendiente?

Question

Mi libro (Goodwin Microeconomía en Contexto, pg. 117) afirma lo siguiente sobre el precio elasticidad de la demanda:

Dadas dos curvas de demanda que pasan por un punto específico en los gráficos con la misma escala, el plano de la curva de demanda se representan los relativamente más elástica la demanda y el paso a paso de uno de los relativamente menor elasticidad de la demanda.

Tengo dos preguntas al respecto:

1) el plano de la curva de demanda sea más elástica en cualquier punto dado (para cualquier valor dado de p$$) o justo en el punto en que ambas curvas pasan a través de?

2) ¿Cómo podemos mostrar este matemáticamente utilizando la definición de la elasticidad como $$\epsilon=\frac{dQ}{dp}\frac{p}{Q}$$?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Las dos funciones de demanda de $D_1(p),D_2(p)$ de la cruz en el punto $(Q,p)$. Sus respectivas elasticidades precio $p$ son \begin{align*} \epsilon_1(p) & = \frac{\text{d}D_1(p)}{\text{d}p}\frac{p}{D_1(p)} \\ \\ \epsilon_2(p) & = \frac{\text{d}D_2(p)}{\text{d}p}\frac{p}{D_2(p)}. \end{align*} Sin embargo, dado que tanto la función de la cruz en el punto $(Q,p)$ sabemos que $$ D_1(p) = D_2(p) = P. $$ Pero, a continuación, $$ \frac{p}{D_1(p)} = \frac{p}{Q} = \frac{p}{D_2(p)}. $$ Significado la única diferencia entre su elasticidad es de $\text{d}D_i(p)/\text{d}p$, que es de sus pendientes.

Como para su 1. pregunta, las condiciones no son claras. Es el 'adular' curva sólo 'adular' localmente, o para cada precio de $p$? Si usted refiero sólo a nivel local, entonces no, la declaración sólo es válida en el punto de intersección $(Q,p)$.

Answer 2

1) Sí, la más pronunciada de la curva es más inelástica en todos los precios, si son lineales.

2) Para el lineal de la curva de demanda, tenemos $\epsilon(P) = \frac{1}{m}\frac{P}{Q(P)}$ para una curva de demanda con pendiente $\frac{\Delta P}{\Delta Q}=m$. Deje que la curva de demanda se representó $P=b+mQ$. Esto reducirá a $\epsilon = \frac{P}{P-b}$ donde $b$ es el $P$-intercepción.

Por hipótesis, ambas comparten un punto $(Q,P)$, por lo que mayor será la inclinación de la pendiente corresponde a un mayor valor de $b$, y por lo que la curva es más inelástica.