Una simple pregunta: Coste de la cobertura delta cuando se vende una opción de compra

Question

Consideremos una opción de compra europea vainilla C, con un activo subyacente S, un precio de ejercicio K y un plazo de vencimiento T. Supongamos que S sigue un movimiento browniano geométrico con una tasa de crecimiento medio de y una volatilidad . r representa el tipo de interés libre de riesgo continuamente compuesto.

Vendí una opción de compra, y decidí cubrir mis riesgos, utilizando la estrategia Delta-Neutral. Así, me aseguro de tener siempre $$ S\frac{\partial C}{\partial S}$$ de acciones conmigo en cualquier momento.

En John Hull, se menciona que el coste de dicha estrategia es siempre igual al precio BSM, independientemente de la trayectoria real que siga el precio de las acciones. Estoy tratando de demostrar esta afirmación matemáticamente.

Esto es lo que intento demostrar: El coste total de la cobertura delta debe ser $$ \int_0^T SN(d1) $$

$$ as \frac{\partial C}{\partial S} = N(d1) $$ ( Si es posible, podemos suponer r = 0 para simplificar )

¿Puede usted por favor guiarme sobre cómo proceder o cualquier otro método

Gracias.

P.D. (editar): Intuitivamente, sé que el coste de la estrategia de cobertura delta es siempre igual al precio de la opción. Para demostrarlo, supongamos que he vendido una opción de compra. Ahora, quiero cubrirme contra los movimientos a la baja de los precios de las acciones. La estrategia que seguiría es mantener Delta * Acciones en cada momento, por lo que mi pago al final del vencimiento sería cero. Esencialmente, el coste de dicha estrategia tiene que ser siempre igual al precio de la opción de compra porque sólo entonces, el No-arbitraje se mantiene.

Answer 1

Debería volver a la derivación de la ecuación de Black-Scholes (véase esta respuesta por ejemplo). El punto principal es que se puede cancelar el riesgo del derivado en un periodo de tiempo infinitesimal $dt$ manteniendo una cierta cantidad $\Delta$ del activo. Al aplicar esta estrategia de cobertura, en este límite continuo, la varianza de su PnL es cero. Por tanto, independientemente de la trayectoria real seguida por el subyacente, el coste de la estrategia de réplica es siempre el mismo.

Ahora bien, esto supone que los tipos son deterministas y, además, la volatilidad es conocida y constante, por lo que la volatilidad que introducimos en el precio va a ser siempre la volatilidad realizada en cualquier trayectoria. Si la volatilidad es desconocida, su PnL lo será: $$ d\Pi_t - r_t\Pi_t = \frac{1}{2}S^2\partial^2_SP \left( \sigma_R^2 - \sigma_M^2\right) dt $$ la diferencia entre la varianza realizada $\sigma_R^2dt$ y la varianza del modelo de precios $\sigma_M^2 dt$ ponderado por la Gamma de la cartera.

Answer 2

Según las aportaciones de otros usuarios, se trata de otra prueba no rigurosa de por qué el coste de la cobertura delta es igual al precio de la opción. Este enfoque podría ser útil para los estudiantes que utilizan a John Hull como referencia y pueden no estar familiarizados con la estrategia de autofinanciación.

Contexto: Por ejemplo, 19.2 en Opciones, futuros y otros derivados de Hull.

Hemos vendido una opción europea simple y queremos cubrir nuestra posición replicando el pago de la opción.

$$ \text{Assume that at} \quad t = 0, \quad C_0, \, \Delta_0, \, \text{are the price & the delta of the option and } S_0 \text{to be the price of the stock}$$

Sabemos que invertir una cartera de valores $ C_0 $ que consiste en $$ (\Delta_0 * S_0) \quad\text{stocks} + \quad (C_0 - \Delta_0 * S_0) \quad \text{money} $$

Ahora, $$ \text{At} \quad t = 1, \quad C_1, \, \Delta_1, \, \text{are the price & the delta of the option and } S_1 \text{to be the price of the stock}$$ Así que, tomamos prestado $$B_1 = (\Delta_1*S_1 - \Delta_0*S_1) \text{worth of money from the money market}\\$$ Tras lo cual las posiciones de nuestra cartera son

$$ (\Delta_1 * S_1) \quad\text{stocks} + \quad (C_0 - \Delta_0 * S_0 -(\Delta_1*S_1 - \Delta_0*S_1)) \quad \text{money} $$

De la misma manera, $$ \text{At} \quad t = 2, \quad C_2, \, \Delta_2, \, \text{are the price & the delta of the option and } S_2 \text{to be the price of the stock}$$ Así que, tomamos prestado $$B_2 = (\Delta_2*S_2 - \Delta_1*S_2) \text{worth of money from the money market}$$ Tras lo cual las posiciones de nuestra cartera son

$$ (\Delta_2 * S_2) \quad\text{stocks} + \quad (C_0 - \Delta_0 * S_0 -(\Delta_1*S_1 - \Delta_0*S_1)-(\Delta_2*S_2 - \Delta_1*S_2) ) \quad \text{money} $$

Supongamos que a finales de $ t= 2 $ la opción llega a su vencimiento y nos paga, es decir, el vendedor de la opción es $ \Delta_2*S_2 - C_2$

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En el libro de Hull, este concepto de mercado monetario no se explica con claridad. La afirmación que hace Hull es que el coste de constitución de la cartera inicial + el préstamo + el pago final es igual al precio de la opción: en otras palabras,

$$ (\Delta_0 * S_0) \quad (\text{initial cost of the stock}) + \\ (\Delta_1*S_1 - \Delta_0*S_1) + (\Delta_2*S_2 - \Delta_1*S_2) \quad (borrorwings) + \\ (\Delta_2*S_2 - C_2) \quad (final payoff) \\ \text{is equal to } \\ C_0 \text{ -the initial price of the option} $$

Resolviendo la anterior ecuación de Hull, obtenemos, $$ \Delta_0*(S_0-S_1) + \Delta_1*(S_1-S_2) = C_0 - C_2$$

A partir de la definición de $\Delta$ Esto debería ser siempre cierto para intervalos de tiempo pequeños.

Por lo tanto, la declaración de Hull de que El coste de creación de la cartera con cobertura delta es igual al precio de la opción es cierto