Derivación rigurosa de $d\Pi$ para las acciones con dividendo continuo

Question

Supongamos que tenemos una cartera de réplica $\Pi_t$ de largo una opción $f(S,t)$ y a la venta de algunas acciones, por lo que $$\Pi_t=f(S_t,t)-\Delta_t S_t$$ Supongamos que la acción sigue un movimiento browniano geométrico y paga dividendos continuos a una tasa $q$ Así que $$d S_t = S_t((\mu-q)dt + \sigma dW_t$$ Ingenuamente, $$d\Pi_t = d f(S_t,t)-\Delta_t dS_t$$ Sin embargo, como la acción paga un dividendo, el sentido común y la literatura nos dicen que $$d\Pi_t=df(S_t,t)-\Delta_t dS_t-\Delta_t S_t dt$$

Pregunta: ¿Cómo llegamos de forma rigurosa a la derivada total para $d\Pi_t$ que incluye el término extra $-\Delta_t S_t dt$ Dado que sabemos que $\Pi_t=f(S_t,t)-\Delta_t S_t$ ¿Sin apelar al sentido común, es decir, a las ecuaciones, sin recordar la mecánica del funcionamiento de la acción? Porque, ingenuamente, no incluiría el término extra, si sólo conociera la ecuación que define $\Pi_t$ y nada sobre la mecánica de las acciones.

Answer 1

Dejemos que $S^0_t = e^{rt}$ sea la cuenta del mercado monetario.

Considera que estás corto de un derivado $P_t$ y cubrirlo con efectivo y acciones. $$ \Pi_t = \Delta^0_t S^0_t + \Delta_t S_t - P_t $$ En el momento $t+dt$ la cartera es \begin{eqnarray*} \Pi_{t+dt} &=& \Delta^0_t S^0_{t+dt} + \Delta_t S_{t+dt} + \Delta_t q_t S_t dt - P_{t+dt} \end{eqnarray*} Donde $\Delta_t q_t S_t dt$ corresponde al dividendo recibido. Entonces \begin{eqnarray*} \Pi_{t+dt} &=& (1+rdt)\Delta^0_t S^0_{t} + \Delta_t S_{t+dt} - P_{t+dt} \\ &=& (1+rdt)( \Pi_t - \Delta_t S_t + P_t ) + \Delta_t S_{t+dt} + \Delta_t q_t S_t - P_{t+dt} \\ &=& (1+rdt)( \Pi_t - \Delta_t S_t + P_t ) + \Delta_t S_{t+dt} + \Delta_t q_t S_t - P_{t+dt} \end{eqnarray*} Esto se puede reescribir \begin{eqnarray*} d\Pi_{t}-r\Pi_t &=& \Delta_t (dS_{t} - (r-q)S_tdt) - (dP_{t} - rP_tdt) \end{eqnarray*}

Supongamos que el precio de las acciones tiene una dinámica $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW^\mathbb{P}_t $$ bajo la medida del mundo real $\mathbb{P}$ (la deriva podría ser incluso estocástica en este caso). Buscamos el precio de la forma $P_t = P(t,S_t)$ . Aplicando Ito, se encuentra \begin{eqnarray*} dP_{t} &=& \partial_tPdt + \partial_SP dS_t + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\partial^2_SP dt \end{eqnarray*} así que \begin{eqnarray*} d\Pi_{t}-r\Pi_t &=& (\Delta_t - \partial_SP) dS_{t} - \Delta_t S_t (r-q)dt) - \partial_tPdt - \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\partial^2_SP dt + rP(t,S_t)dt) \end{eqnarray*} Para acabar con el término estocástico debemos elegir $\Delta_t = \partial_SP$ . Terminamos con una cartera sin riesgo con PnL \begin{eqnarray*} d\Pi_{t}-r\Pi_t &=& -\left(\partial_tP + (r-q)S_t \partial_SP + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\partial^2_SP - rP \right)dt \end{eqnarray*} Por ausencia de arbitraje, éste tiene que ser 0, de lo contrario podríamos obtener un beneficio garantizado sin asumir ningún riesgo. Así que el lado derecho es la ecuación de difusión \begin{eqnarray*} \partial_tP + (r-q)S_t \partial_SP + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\partial^2_SP dt = rP \end{eqnarray*} Se trata de una ecuación de difusión (la ecuación de Black-Scholes). En el caso de que $P$ paga un único flujo de caja $P(T,S_T)$ en $T$ el teorema de Feynman-Kac asegura que la solución de esta EDP puede escribirse como una expectativa \begin{eqnarray*} P(t,S) &=& \mathbb{E}^\mathbb{Q}_t\left[ e^{-\int_t^T r ds} P(T,Y_T) |Y_t = S\right] \end{eqnarray*} donde $(X,\mathbb{Q})$ es cualquier espacio de probabilidad, $W^\mathbb{Q}$ un movimiento browniano en él y $Y$ un proceso que satisface la SDE $$ \frac{dY_t}{Y_t} = (r-q) dt + \sigma dW^\mathbb{Q}_t $$ Esta probabilidad $\mathbb{Q}$ se denomina habitualmente medida neutral de riesgo y el proceso $Y$ se suele escribir $S$ . Pero sólo son construcciones matemáticas que pueden facilitar el cálculo porque la deriva del mundo real es irrelevante. El núcleo del argumento es dar cuenta del PnL de nuestra estrategia y de la ausencia de arbitraje. El hecho de que el precio no dependa de la deriva se debe a que ésta se anula cuando mantenemos el subyacente como nuestra cobertura.