Cartera Black-Scholes

Question

En el modelo black-scholes, la cartera de cobertura viene dada (en algunos libros de texto) por $$\Pi_t = V_t - \Delta S_t,$$ es decir, la cartera se compone de una posición larga en la opción $V$ y $\Delta$ unidades de posiciones cortas en las acciones $S_t$ .

¿Cómo obtenemos el cambio en el valor de la cartera, es decir, cómo obtenemos $$d\Pi_t = dV_t - \Delta dS_t$$ En algún libro de texto argumentan que se debe al lema de Ito. Conozco el lema de Ito, pero no sé cómo aplicarlo para obtener lo anterior.

Mi idea: En algunos libros de texto parten de una cartera (replicante) dada por $$\Pi_t = \alpha S_t + \beta B_t,$$ donde $B_t$ es el activo sin riesgo. Entonces, suponiendo que la cartera de réplica se autofinancia, tenemos $$d\Pi_t = \alpha dS_t + \beta dB_t,$$ es decir, la variación del valor de la cartera se debe a los cambios en las condiciones del mercado y no a la infusión o extracción de efectivo.

¿Tenemos $$d\Pi_t = dV_t - \Delta dS_t$$ por la hipótesis de la autofinanciación? Pero, ¿por qué algunos libros dicen que lo conseguimos por el lema de Ito? ¿Cómo aplicamos el lema de Ito a $$\Pi_t = V_t - \Delta S_t \qquad ?$$

Saludos cordiales

Answer 1

La argumentación de la "cartera de cobertura" es problemática. En este papel Peter Carr comenta a " ¿Es correcto el argumento de cobertura que se da en el documento de Black-Scholes correcto? ". Creo que esto responde a su pregunta.

La otra forma de argumentar la ecuación del BS, utilizando la "cartera replicante", se puede encontrar, por ejemplo, en Shreve II. Como ha escrito, puede suponer la condición de autofinanciación. Posteriormente se puede demostrar que la ecuación de BS implica la existencia de una cartera autofinanciada. Las ideas sobre cómo hacer esto se pueden encontrar en esto Correo electrónico: .

Answer 2

No estoy seguro de haber entendido bien su pregunta.

De todos modos, considere su derivado financiero en función del tiempo y las acciones: $$V_t = v(t, \ S).$$ Usando el lema de Ito, podemos recuperar: $$dV_t = \frac{\partial v}{\partial t}dt + \frac{\partial v}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 v}{\partial S^2}d<S>_t.$$ En $\frac{\partial v}{\partial S} = \Delta$ por definición, se obtiene: $$d\Pi_t = \frac{\partial v}{\partial t}dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 v}{\partial S^2}d<S>_t.$$ Obsérvese que no es posible una cobertura perfecta debido a la difusión de $S_t$ .

¿Es eso lo que buscas?