Autofinanciación y fórmula Black-Scholes-Merton

Question

La autofinanciación es un concepto importante en la réplica de productos financieros, normalmente utilizado en la fijación de precios.

He leído sobre varias formas de derivar la fórmula Black-Scholes-Merton (BSM). Parece que algunos enfoques se basan en la replicación, lo que implica la condición previa de autofinanciación. ¡Pero resulta que tales enfoques no verificaron la condición!

¿Es correcto lo que he entendido? Los detalles son los siguientes.

Referencia:

Helyette Geman, Nicole El Karoui, Jean-Charles Rochet "Changes of Numeraire, Changes of Probability Measure and Option Pricing" Journal of Applied Probability, Vol. 32, No. 2 (Jun., 1995) , pp. 443-458.

Shreve] Steven E. Shreve "Stochastic calculus for finance II", 2004.

Hull] John Hull, "Options, Futures, and Other Derivatives", 2009.

Autofinanciación

Según [German], una cartera $$\begin{equation*} V(t)=\sum_{k=1}^n w_k(t) S_k(t) \tag{G-1} \end{equation*}$$

se define como autofinanciación si $$\begin{equation*} dV(t)=\sum_{k=1}^n w_k(t) \,d S_k(t) \tag{G-2} \end{equation*}$$

se mantiene.

Un ejemplo sencillo de producto no autofinanciado sería una opción americana. Por lo tanto, si una derivación de la fórmula/ecuación de BSM no excluye

opciones americanas, probablemente descuidó el requisito de autofinanciación.

Ecuación y fórmula de BSM

Como dice el capítulo 4.5.3 de [Shreve], la ecuación de BSM es: $$\begin{equation*} c_t(t,x)+rxc_x(t,x)+\frac{1}{2}\sigma^2x^2c_{xx}(t,x)=rc(t,x) \tag{S-4.5.14} \end{equation*}$$

para todos $t\in[0,T)$ y $x\ge 0$ , donde $c(t,x)$ es el precio de la opción de compra en el momento $t$ para el activo subyacente $x$ y $c_t$ , $c_x$ son diferenciales parciales.

La solución de la ecuación de BSM (Shreve 4.5.14) es la fórmula de BSM, como [Shreve] proporcionó en el capítulo 4.5.4 : $$\begin{equation*} c(t,x)=xN(d_+(T-t,x))-Ke^{-r(T-t)}N(d_-(T-t,x)) \tag{S-4.5.19} \end{equation*}$$

Derivación de la fórmula BSM nº 1: de la ecuación BSM

Shreve] proporciona (S-4.5.19) sin tocar los pasos detallados que resuelven la ecuación parabólica hacia atrás; sólo utiliza el Ejercicio 4.9 para mostrar que se cumple (S-4.5.14). Esto está bien. El problema es cómo [Shreve] establece (S-4.5.14), como se extrae a continuación.

El precio de las acciones modelado por el movimiento browniano geométrico es

$$\begin{equation*} \,\text{d}S(t) = \alpha S(t) \,\text{d}t + \sigma S(t) \,\text{d}W(t) \tag{S-4.5.1} \end{equation*}$$

Configure la cartera de réplica como $$\begin{equation*} X(t)=\Delta(t)S(t)+\Gamma(t)M(t) \tag{S-4.10.16} \end{equation*}$$

Esto significa que en cada momento t, el inversor tiene $\Delta(t)$ acciones. La posición $\Delta(t)$ puede ser aleatoria, pero debe adaptarse a la filtración asociada a el movimiento browniano $W(t), t > 0$ . El resto del valor de la cartera, $X(t) — \Delta(t)S(t)$ se invierte en la cuenta del mercado monetario.

Suponiendo un tipo de interés constante como $r$ , uno tiene $$\begin{align} \,\text{d}X(t) &= \Delta\,\text{d}S + r(X - \Delta\,S )\,\text{d}t\\ &= \Delta (\alpha S \,\text{d}t + \sigma S \,\text{d}W) + r(X - \Delta S )\,\text{d}t\\ &= rX\,\text{d}t + \Delta\,(\alpha - r) S \,\text{d}t + \Delta\,\sigma S\,\text{d}W \tag{S-4.5.2} \\ \,\text{d}(e^{-rt}S(t)) &= -re^{-rt}S\,\text{d}t+e^{-rt}\,\text{d}S \\ &= (\alpha-r)e^{-rt}S\,\text{d}t + \sigma e^{-rt} S\,\text{d}W \tag{S-4.5.4} \\ \,\text{d}(e^{-rt}X(t)) &= -re^{-rt}X \,\text{d}t+e^{-rt}\,\text{d}X \\ &= \Delta\,(\alpha-r)e^{-rt}S\,\text{d}t + \Delta\,\sigma e^{-rt} S\,\text{d}W \\ &= \Delta\,\text{d}(e^{-rt}S(t)) \tag{S-4.5.5} \\ \end{align}$$

Dejemos que $c(t,x)$ denotan el valor de la opción de compra en el momento $t$ si el precio de las acciones en ese momento es $S(t) = x$ . Shreve] dice que "Black, Scholes y Merton argumentaron que el valor de esta opción de compra en cualquier momento debería depender del tiempo (más precisamente del tiempo hasta el vencimiento) y del valor del precio de las acciones en ese momento", no hay nada aleatorio en la función $c(t,x)$ -- Entiendo que esto implica que el precio de la opción es un proceso de Markov.

Calculando $\,\text{d}c(t,S(t))$ , uno tiene $$\begin{align} \,\text{d}c(t,S(t)) &= \left[c_t+\alpha Sc_x+\frac{1}{2}\sigma^2S^2c_{xx}\right]dt + \sigma Sc_x dW(t) \tag{S-4.5.6} \\ \,\text{d}(e^{-rt}c(t,S(t)) &= -re^{-rt}c(t,S(t))\,\text{d}t + e^{-rt}\,\text{d}c(t,S(t)) \\ &= e^{-rt}[-rc+c_t+\alpha Sc_x+\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 c_{xx}]\,\text{d}t \\ & + e^{-rt} \sigma Sc_x\,\text{d}W \tag{S-4.5.7} \\ \end{align}$$

Aquí viene el truco: [Shreve] dice que "una cartera de cobertura (de opciones cortas) comienza con un capital inicial $X(0)$ y invierte en la cuenta de acciones y del mercado monetario para que el valor de la cartera $X(t)$ en cada momento $t\in[0, T]$ está de acuerdo con $c(t, S(t))$ ", esto sucede si y sólo si $X(0)=c(0,S(0))$ y
$$\begin{equation*} d(e^{-rt}X(t))=d(e^{-rt}c(t,S(t)),\forall t\in [0,T) \tag{S-4.5.8} \end{equation*}$$

Comparando (S-4.5.5) y (S-4.5.7), (S-4.5.8) conduce a, $\forall t \in [0, T)$ , $$\begin{align} \Delta(t) &= c_x(t,S(t)) \tag{S-4.5.11} \\ (\alpha-r)Sc_x &= -rc+c_t+\alpha Sc_x + \frac{1}{2}\sigma^2S^2c_{xx} \tag{S-4.5.12} \\ \end{align} $$

Finalmente (S-4.5.12) significa (S-4.5.14), la ecuación BSM.

Ahora bien, hay una laguna: la autofinanciación de la cartera de réplica $X(t)$ . En realidad, el primer paso de (S-4.5.2), o explícitamente, $$\begin{equation*} \,\text{d}X(t) = \Delta\,\text{d}S + r(X - \Delta\,S )\,\text{d}t \tag{S-4.10.9} \end{equation*}$$ implica la condición de autofinanciación (G-2).

El ejercicio 4.9.10 aborda el tema de la autofinanciación, pero no no demostrar que $X(t)$ se autofinancia. En cambio, el ejercicio 4.9.10 sólo dice que la condición de autofinanciación, o (S-4.10.9), es equivalente a $$\begin{equation*} S(t)\,\text{d}\Delta(t)+\,\text{d}S(t)\,\text{d}\Delta(t)+M(t)\,\text{d}\Gamma(t)+\,\text{d}M(t)\,\text{d}\Gamma(t)=0 \tag{S-4.10.15} \end{equation*}$$

y con tal condición se mantiene la fórmula de Black-Scholes (S-4.5.14).

Pero, encontrar dos lagunas alternativas, ¡no resuelve ninguna de ellas!

Para demostrar que una opción de compra cumple (S-4.5.9) o (S-4.5.15) es necesario analizar la propiedad de la opción de compra. Esto no se hizo en [Shreve]; sólo establece el precio de la opción de compra $c(t,S(t))$ es un proceso de Markov.

En otras palabras, [Shreve] presenta método nº 1 en pero no excluye la ecuación de BSM (S-4.10.14) y, en consecuencia, la fórmula de BSM (S-4.5.19) que se aplica a las opciones americanas.

Derivación de la fórmula BSM nº 2: como expectativa bajo la medida de riesgo neutral

En el capítulo 5.2.4 y 5.3.2 de [Shreve] se explica cómo derivarlo como una expectativa bajo la medida de riesgo neutral.

Definir el proceso de descuento como
$$\begin{equation*} D(t):=exp\left\{-\int_0^tR(s)\,\text{d}s\right\} \tag{S-5.2.17} \end{equation*}$$ , donde $R(t)$ es el proceso de tipo de interés adaptado. Entonces se tiene
$$\begin{equation*} \,\text{d}D(t) = -R(t)D(t)\,\text{d}t \tag{S-5.2.18} \end{equation*}$$

Dejemos que $V(T)$ es el pago de un derivado en el momento $T$ . El objetivo es establecer el proceso de replicación $$\begin{equation*} X(t)=\Delta(t)S(t)+\Gamma(t)M(t) \tag{S-4.10.16} \end{equation*}$$ tal que $$\begin{equation*} X(T) = V(T), a. s. \tag{S-5.2.28} \end{equation*}$$

Suponiendo que (S-5.2.28) es posible, de forma similar a (S-4.5.2), se tiene $$\begin{align} \,\text{d}X(t) &= \Delta(t)\,\text{d}S(t) + R(t)(X(t)-\Delta(t)S(t))\,\text{d}t \\ &= RX \,\text{d}t + \Delta (\alpha(t)-R(t))S \,\text{d}t+\Delta \sigma S \,\text{d}W \\ &= RX \,\text{d}t + \Delta \sigma S [\Theta(t)\,\text{d}t + \,\text{d}W(t)]\tag{S-5.2.25} \\ \end{align}$$ , donde $$\begin{equation*} \Theta(t)=\frac{\alpha(t)-R(t)}{\sigma(t)} \tag{S-5.2.21} \end{equation*}$$ es el precio de mercado del riesgo.

También, de forma similar, comparable a (S-4.5.5) $$\begin{align} \,\text{d} (D(t)X(t)) &= \Delta(t) \sigma(t) D(t) S(t) [\Theta(t)S(t)\,\text{d}t + \,\text{d}W(t)] \\ &= \Delta(t) \,\text{d} (D(t)S(t)) \tag{S-5.2.26} \\ \end{align}$$

Por el Teorema de Girsanov, se define la medida $\tilde {\mathbb{P}}$ por el proceso de derivación de Radon-Nikodym $$\begin{equation*} Z(t) = exp \left\{ -\int_0^t \Theta(u) \,\text{d}W(u) - \frac{1}{2}\int_0^t \Theta^2(u) du \right\} \tag{S-5.2.11} \end{equation*}$$

bajo el cual $\,\text{d}\tilde{W}$ definido como

$$\begin{align} \tilde{W} (t) &= W(t) + \int_0^t \Theta(u) du \tag{S-5.2.12}\\ d\tilde{W}(t) &= dW(t) + \Theta(t) dt \\ \end{align}$$

es un movimiento browniano.

Entonces (S-5.2.26) se convierte en $$\begin{equation*} d(D(t)X(t)) = \Delta(t)\sigma(t)D(t)S(t)d\tilde{W}(t) \tag{S-5.2.27} \end{equation*}$$ , lo que significa que bajo medida $\tilde{\mathbb{P}}$ , $D(t)X(t)$ es una martingala.

Así que debido al Teorema de la Representación de Martingala, (S-5.2.28) es alcanzable; al mismo tiempo,

$$\begin{equation*} D(t)X(t) = \tilde{\mathbb{E}}[D(T)X(T)\mid \mathscr{F}(t)] = \tilde{\mathbb{E}}[D(T)V(T)\mid \mathscr{F}(t)] \tag{S-5.2.29} \end{equation*}$$

por lo que se puede partir de (S-5.2.29) para definir $V(t)$ como $$\begin{equation*} D(t)V(t) = \tilde{\mathbb{E}}[D(T)V(T) \mid \mathscr{F}(t)], 0\le t\le T \tag{S-5.2.30} \end{equation*}$$ o $$\begin{equation*} V(t) = \tilde{\mathbb{E}}\left[ exp\left\{-\int_t^TR(u)du\right\}V(T) \mid \mathscr{F}(t)\right], 0\le t\le T \tag{S-5.2.31} \end{equation*}$$

Aplicando (S-5.2.31) a la opción de compra, observe en este producto $V(T) = (S(T)-K)^+$ , uno tiene $$\begin{equation*} c(t, S(t)) = \tilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)} (S(T)-K)^+ \mid \mathscr{F}(t)] \tag{S-5.2.32} \end{equation*}$$

Además, la hipótesis del movimiento browniano geométrico del precio de las acciones $$\begin{equation*} \,\text{d}S(t) = \alpha S(t) \,\text{d}t + \sigma S(t) \,\text{d}W(t) \tag{S-4.5.1} \end{equation*}$$ lleva a $$S(t)=S(0)e^{\sigma \tilde{W}(t) + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)}$$ Entonces, después de aplicar dicho resultado de $S(t)$ y hacer uso de las propiedades de la distribución normal, se deriva la fórmula BSM.

El problema de Método de derivación de la fórmula BSM nº 2 es similar al problema en Método de derivación de la fórmula BSM nº 1 -- que desde $X(t) = \Delta(t)S(t)+\Gamma(t)M(t)$ no se puede obtener directamente el primer paso de (S-5.2.25): $$dX(t) = \Delta(t)dS(t) + R(t)(X(t)-\Delta(t)S(t))dt $$

En realidad, esto implica la condición de autofinanciación, que no se comprueba.

Naturalmente, toda la derivación no excluye las opciones americanas para llegar (S-5.2.32) y, en consecuencia, la fórmula BSM (S-4.5.19) para ser aplicada.

Derivación de la fórmula BSM nº 3: por el teorema de Feynman-Kac

Shreve] introdujo esta opción en el capítulo 6.4.

En primer lugar, se introduce el Teorema de Feynman-Kac descontado.

Teorema 6.4.3 Consideremos la diferencial estocástica $$\begin{equation*} dX(u) = \beta(u, X(u)) du + \gamma(u, X(u)) dW(u). \tag{S-6.2.1} \end{equation*}$$ Dejemos que $h(y)$ sea una función medible por Borel y sea $r$ sea constante. Fijar $T > 0$ y dejemos que $t \in [0,T]$ se le dará. Definir la función $$\begin{equation*} f(t, x) = \mathbb{E}^{t,x} [e^{-r(T-t)}h(X(T))]. \tag{S-6.4.3} \end{equation*}$$ (Suponemos que $\mathbb{E}^{t,x} \mid h(X(T)) \mid < \infty$ para todos $t$ y $x$ .) Entonces $f(t,x)$ satisface la ecuación diferencial parcial $$\begin{equation*} f_t(t, x) + \beta(t, x)f_x(t, x) + \frac{1}{2}\gamma^2(t, x)f_{xx}(t, x) = rf(t, x) \tag{S-6.4.4} \end{equation*}$$ y la condición terminal $$\begin{equation*} f(T, x) = h(x), \forall x \tag{S-6.4.5} \end{equation*}$$

Con el Teorema de Feynman-Kac descontado listo, es fácil seguir adelante. Para $V(T) $ definido, y $V(t)=\tilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)}h(S(T)) \mid \mathscr{F}(t)]$ naturalmente, hay un $v(t,x)$ para que $V(t)=v(t,S(t))$ y $v(t,x)$ cumple la ecuación de BSM $$\begin{equation*} v_t+rxv_x+\frac{1}{2}\sigma^2x^2v_{xx}=rv \tag{S-6.4.9} \end{equation*}$$

Ahora bien, si uno aplica $V(T) = (S(T)-K)^+$ , la restricción del límite de la opción de compra, es fácil ver que el resto es como Derivación de la fórmula BSM nº 1 -- para resolver una ecuación parabólica hacia atrás.

El problema en Derivación de la fórmula BSM nº 3 es, podemos definir tal $v(t,x)$ Sin embargo, seguimos necesitando la condición de autofinanciación para decir que $c(t,x) = v(t,x)$ .

Resumen

Por lo tanto, parece que los 3 enfoques de [Shreve] que derivan la fórmula de BSM implican en realidad el prerrequisito de la condición de autofinanciación, y no lo tienen en cuenta.

También he revisado el libro de John Hull [Hull], es aún peor.

Entonces, ¿entiendo que la fórmula de BSM de [Shreve] no cumple el requisito de autofinanciación? Si es así, ¿hay algún libro sobre precios que cubra esta parte?

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Añadido después de leer las respuestas siguientes

Gracias a todos, especialmente a Brian B. y al largo post de emcor.

Gracias, pero tengo que decir que no me habéis entendido.

Permítanme explicar por qué la autofinanciación es un requisito previo a los argumentos de Shreve.

En resumen, el método Shreve 1 asume implícitamente la autofinanciación, y deriva la ecuación BSM (BSM PDE), en base a la cual se deriva la fórmula BSM, o: Autofinanciación => PDE de BSM => Fórmula de BSM.

Mi pregunta original era: ¿cómo demostrar que la opción de compra se autofinancia? sin este primer paso no podemos llegar a la EDP de BSM ni a la fórmula de BSM.

Por eso no puedo aceptar el post de @emcor ya que básicamente dice que "la autofinanciación se cumple bajo la supuesta EDP de Black-Scholes" , o EDP de BSM => Autofinanciación. Ahora bien, esto constituye un argumento circular: BSM PDE => Autofinanciación (emcore) y Autofinanciación => BSM PDE => Fórmula BSM (Shreve).

Examinemos un poco los detalles del paso de Shreve de la replicación de la cartera.

Básicamente, Shreve dice que una cartera se configura como

$$X(t) = \Delta(t) S(t) + \Gamma(t) M(t)$$

y esto replica la opción de compra, por lo que

$$X(t) = c(t)$$

. Entonces, a partir de aquí, utilizar el lema de ito y argumentar que no hay $dt$ elemento BSM PDE está configurado.

Para $M(t)$ Siempre tenemos $$dM(t) = r M(t) dt$$

Ahora vamos a comprobar el tiempo $t_1$ y el tiempo $t_2$ poco después $t_1$ .

Para replicar $c(t)$ Es necesario

$$ \begin{cases} X(t_1) = \Delta(t_1) S(t_1) + \Gamma (t_1) M(t_1)\\ X(t_2) = \Delta(t_2) S(t_2) + \Gamma (t_2) M(t_2) \end{cases} $$

En otras palabras,

$$dX(t_1) = X(t_2) - X(t_1) = d(\Delta(t_1)S(t_1)) + d(\Gamma(t_1)M(t_1)) \\ =S(t_1)d(\Delta(t_1)) + \Delta(t_1)d(S(t_1) +d(S(t_1))\cdot d(\Delta(t_1)) \\ + \Gamma(t_1)d(M(t_1)) + M(t_1)d(\Gamma(t_1)) + d(M(t_1)) \cdot d(\Gamma(t_1)) $$

Por otro lado, después de ajustar la cartera a $X(t_1) = \Delta(t_1) S(t_1) + \Gamma (t_1) M(t_1)$ durante el corto período de $t_1$ a $t_2$ la cartera se convierte en

$$X'(t_2) = \Delta(t_1) S(t_2) + \Gamma(t_1) M(t_2)$$

o $$dX'(t_1) = X'(t_2) - X(t_1) = \Delta(t_1) dS(t_1) + \Gamma(t_1) d M(t_1) $$

Para hacer esa cartera de réplicas $X(t)$ tiene sentido, debe ser capaz de "reequilibrar" en el tiempo $t_2$ de $X'(t_2)$ a $X(t_2)$ En otras palabras, $X(t_2)$ será igual a $X'(t_2)$ o $$dX'(t_1) = dX(t_1)$$

Esto lleva a

$$S(t_1)d(\Delta(t_1)) + \Delta(t_1)d(S(t_1) +d(S(t_1))\cdot d(\Delta(t_1)) \\ + \Gamma(t_1)d(M(t_1)) + M(t_1)d(\Gamma(t_1)) + d(M(t_1)) \cdot d(\Gamma(t_1)) = \Delta(t_1) dS(t_1) + \Gamma(t_1) d M(t_1) $$

Así que..,

$$S(t_1)d(\Delta(t_1)) +d(S(t_1))\cdot d(\Delta(t_1)) + M(t_1)d(\Gamma(t_1)) + d(M(t_1)) \cdot d(\Gamma(t_1)) = 0 $$

Sustitución de $t_1$ a $t$ se obtiene

$$S(t)d(\Delta(t)) +d(S(t)) d(\Delta(t)) + M(t)d(\Gamma(t)) + d(M(t)) d(\Gamma(t)) = 0 $$ Esto es exactamente (S-4.10.15).

Si (S-4.10.15) se cumple, podemos decir que $X(t) = X'(t), \forall t$ o a lo largo del camino desde el tiempo $0$ a $T$ la cartera de réplica puede reequilibrarse.

Sólo bajo esta condición, podemos decir $$dX(t) = dX'(t) = \Delta(t) dS(t) + \Gamma(t) dM(t) = \Delta(t) dS(t) + \Gamma(t) r M(t) dt \\ = \Delta(t) dS(t) + r (X(t) - \Delta(t) S(t)) dt$$

La última es exactamente (S-4.10.9).

Entonces, ¿qué es la autofinanciación? Significa que el coche no tiene fugas en los neumáticos; significa que la cartera está bien cerrada, que los pagos dependen de los movimientos del mercado, pero que nadie va a "robar" dinero de la cartera ni va a tener que añadir más dinero a la cartera: simplemente evoluciona. El rebalanceo sólo cambia continuamente la composición de la cartera, no su valor esperado.

En resumen, (S-4.10.9) y (S-4.10.15) son equivalentes, significan autofinanciación. Y la autofinanciación es el requisito previo para derivar la ecuación BSM.

Answer 1

Es cierto que la propiedad de autofinanciación de la cartera de réplica no parece presumirse explícitamente ni mostrarse en la derivación de Shreve de la fórmula de Black-Scholes. Se puede observar que una cartera de réplica es, por definición, una cartera de autofinanciación que replica la remuneración.

El problema que veo es que Shreve se limita a sugerir alguna cartera y resuelve la EDP, sin demostrar realmente que se replica y se autofinancia. Omite la expresión para el peso del activo libre de riesgo.

La propiedad de autofinanciación se cumple, y se puede demostrar de la siguiente manera:

Una cartera $V_t=\alpha_tS_t+\beta_t B_t$ (para las acciones $S_t$ y el bono sin riesgo $B_t$ ) se autofinancia si $$dV_t=\alpha_tdS_t+\beta_tdB_t$$

La definición de Shreve de autofinanciación en (G-2) " $V(t)=\sum_{k=1}^n w_k(t) S_k(t)$ " es bastante confuso, la suma aquí significa $n=2$ con $S_1(t)=B_t$ siendo el primer activo un bono, y $S_2(t)=S_t$ las acciones.

Para replicar una reclamación $C(S_t,t)$ por una cartera autofinanciada de acciones y bonos: $dV_t=dC_t$

La dinámica de $dC$ puede especificarse utilizando el lema de Ito sobre $C(S_t,t)$ (naturalmente asumiendo $C\in C^2$ ):

$dC=\partial_tCdt+\partial_sCdS+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}Cdt=\partial_SCdS_t+(\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C)dt$

Ahora igualamos esta expresión para la dinámica de las opciones para mostrar explícitamente los pesos de autofinanciación: $dC=\alpha_tS_t+\beta_t B_t$

Demostramos que la EDP de Black-Scholes es equivalente a seguir la cartera de autofinanciación existente, por:

$\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C=rC-rS_t\partial_S C$ por BS-PDE.

Así que cuando $C$ satisface la BS-PDE, esto significa la existencia de una cartera autofinanciada, insertando la PDE en $dC$ :

$dC=\partial_SCdS_t+(C-S_t\partial_SC)rdt$

En referencia a la notación de Shreve, esto equivale a $dX(t) = \Delta dS_t +r(X_t-\Delta S_t )dt $ con $\Delta(t)=\partial_SC$ y $X(t)=C_t$ .

Además, tenemos la dinámica de enlaces $dB_t=B_trdt$ Así que..:

$dC=\partial_SCdS_t+(\frac{C_t}{B_t}-\frac{S_t}{B_t}\partial_SC)dB_t$

Por último, los factores de $dS_t$ y $dB_t$ son exactamente las ponderaciones de la cartera de réplica:

$\left(\alpha_t=\partial_SC_t,\,\beta_t=\dfrac{C_t}{B_t}-\dfrac{S_t}{B_t}\partial_SC_t\right)$

Por lo tanto, la EDP de Black-Scholes implica la cartera de autofinanciación existente anteriormente (que por la condición de contorno replica también el pago final), y la fórmula de Black-Scholes sigue siendo válida replicando el precio (para los 3 enfoques).

En el caso de las opciones americanas, la EDP seguiría siendo la misma, pero sus condiciones de contorno cambiarían (como ha publicado @BrianB más abajo), incluyendo una función de contorno libre de ejercicio óptimo, en la que la opción se ejerce antes del vencimiento cuando la alcanza el precio de las acciones. En particular, para una opción de venta americana, no existe una solución de forma cerrada bajo las condiciones de contorno requeridas, por lo que no se puede determinar la cartera de réplica. Para una opción de compra americana (sin dividendos), las soluciones son las mismas que para la opción de compra europea, porque uno no ejercería una opción de compra americana antes del vencimiento, sino que simplemente la vendería para capturar el valor temporal positivo.

A petición, la prueba también puede escribirse al revés:

Dejemos que $\left(\alpha_t=\partial_SC_t,\,\beta_t=\dfrac{C_t}{B_t}-\dfrac{S_t}{B_t}\partial_SC_t\right)$ alguna cartera de autofinanciación $V$ para replicar una opción $C(S_t,t)$ .

Entonces, utilizando la dinámica de la unión, $dB_t=B_trdt$ :

$dV=\partial_SCdS_t+(\frac{C_t}{B_t}-\frac{S_t}{B_t}\partial_SC)dB_t=\partial_SCdS_t+(C-S_t\partial_SC)rdt$

A partir del Lemma de Ito, encontramos la dinámica de $C(S_t,t)$ también:

$dC=\partial_tCdt+\partial_sCdS+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}Cdt=\partial_SCdS_t+(\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C)dt$

Equiparación $dC=dV$ :

$\partial_SCdS_t+(\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C)dt=\partial_SCdS_t+(C-S_t\partial_SC)rdt$

Esto implica $\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C=rC-rS_t\partial_S C$ que es el BS-PDE.

Por lo tanto, la cartera de autofinanciación anterior para $C(S_t,t)$ implica BS-PDE.

La forma específica de $C(S_t,t)$ depende de su condición límite particular (por ejemplo $C(S_T,T)=(S_T-K)^+)$ para una llamada) para que la cartera se replique, entonces $C$ se puede determinar como solución de BS-PDE. En el caso de American Put, la EDP tiene condiciones de contorno que no pueden resolverse, de modo que los pesos de autofinanciación no existen en forma cerrada.

Answer 2

Dado que se trata de una pequeña empresa, a largo plazo sería aconsejable invertir el dinero en la expansión -crecimiento, diversificación, integración- de su negocio.

Sin embargo, si su intención es hacer un uso adecuado de sus ganancias a corto plazo, un depósito bancario decente le ayudaría a aumentar la línea de crédito para su negocio con el beneficio de tener una liquidez suficientemente alta.

También puede buscar bonos y otros instrumentos de bajo riesgo para proteger sus activos.

Answer 3

Parece que te frustra especialmente que estas derivaciones de fórmulas no excluyan, por ejemplo, las opciones americanas. Pero tenga en cuenta que, hasta la derivación de la PDE, no hay nada en ellas que suponga una condición de pago particular. Las PDEs como

$$\begin{equation*} f_t(t, x) + \beta(t, x)f_x(t, x) + \frac{1}{2}\gamma^2(t, x)f_{xx}(t, x) = rf(t, x) \tag{S-6.4.4} \end{equation*}$$

aplicar a todo de pago (satisfaciendo algunas condiciones), incluidas las opciones americanas y otras exóticas. En particular, es tan posible replicar el valor de las opciones americanas (o, al menos, el valor de las opciones americanas ejercidas de forma óptima) con acciones y bonos como replicar el valor de las opciones europeas en el marco del BSM. Te remito a la respuesta cuidadosamente elaborada de emcor (que he votado y recomiendo que aceptes) sobre algunos de esos aspectos.

Ahora, aquí hay algo que realmente te va a volver loco: qué pasa cuando ampliamos el BSM SDE

$$\begin{equation*} \,\text{d}S(t) = \alpha S(t) \,\text{d}t + \sigma S(t) \,\text{d}W(t) \end{equation*}$$

para incluir saltos aleatorios

$$\begin{equation*} \,\text{d}S(t) = \alpha S(t) \,\text{d}t + \sigma S(t) \,\text{d}W(t) - S(t) \, j(Z(t)) \, d \, \Pi(t) \end{equation*}$$

para un proceso poisson $\Pi$ y una función de algún proceso aleatorio adicional no observado $Z$ ?

En este caso, la replicación se hace imposible debido a los tamaños de salto desconocidos. Sin embargo, para fijar el precio de las opciones seguimos utilizando efectivamente la misma derivación de la EDP. El argumento económico de la validez no es una réplica exacta, sino más bien una réplica que converge en la distribución al valor de la cartera de opciones para un agente que tiene una $N$ -cartera de instrumentos como $N$ se hace grande. (También se puede aplicar el argumento del equilibrio económico con las mismas consecuencias matemáticas).

Answer 4

¿Cómo se miden los "niveles de educación/formación"? La gente puede pasar más tiempo en el sistema educativo, pero eso no significa necesariamente que obtenga mejores habilidades laborales de allí. Un gran problema del sistema académico es que, aparte de contar crudamente el número de años que se pasa en él, los niveles de cualificación que aporta son bastante dudosos porque nunca se han abordado seriamente de una manera objetiva similar al tipo de crecimiento (más o menos) necesario de la productividad en otros lugares impulsado por el libre mercado en entornos competitivos justos. Ver algunas referencias que recogí de problemas en el sistema académico incluyendo mi propio testimonio sobre la enseñanza universitaria de las matemáticas y la física.

Ahora bien, sobre los salarios más bajos, aparte de que esas observaciones se centran en regiones muy desarrolladas que pueden estar perdiendo parte de su privilegio geográfico en un mundo cada vez más globalizado, escribí esto lista de posibles causas de las crecientes desigualdades económicas en el mundo .

Answer 5

Dos puntos

1. En realidad, no obtienes la totalidad de los 10.000 intereses anuales como ingresos libres de impuestos. Bueno, sí, pero de todos modos habrías obtenido una cantidad considerable como deducción estándar.

   ...Del IRS.... Deducción estándar La deducción estándar para los matrimonios que presentan una declaración conjunta es de $11,900 for 2012. The standard deduction for single individuals and married couples filing separate returns is $ 5.950 para 2012. La deducción estándar para los jefes de familia aumenta en $50 to $ 8.700 para 2012.

   así que si estuvieras casado ni siquiera tendría sentido reclamar la deducción de los intereses hipotecarios de 10.000, ya que la estándar es mayor.

2. Puede tener sentido hacer lo que comentas, pero en última instancia tienes que decidir cuál es el tipo de interés efectivo de tu hipoteca y si te lo puedes permitir.

   Por ejemplo. Puedo tener una hipoteca del 5%. Si estoy en un tramo impositivo del 20%, para mí es una hipoteca del 4%. Aunque me ahorre dinero en impuestos, sigo pagando un 4%. En última instancia, las variables son demasiado complejas como para generalizar cualquier regla dura y rápida, pero a menudo tiene sentido.

(También debe saber que se ha hablado de eliminar o suprimir la deducción de los intereses hipotecarios como forma de cerrar el déficit y reducir la deuda).