Recientemente comencé a leer los problemas de consistencia de Filipovic para modelos de tasas de interés HJM y me encontré con la reparametrización de Musiela
$$r_t(x)=f(t,x+t)$$ por lo que la curva forward puede ser pensada como un mapa $x\to r_t(x)$. El libro continúa diciendo que esto puede ser pensado como una variable de estado de dimensionalidad infinita.
¿Alguien tiene una buena explicación para esto? ¿Es porque tomamos $r_t$ de un espacio de funciones?
Manteniéndolo simple, sabes que HJM SDE proporciona la dinámica de un forward instantáneo haciendo referencia a una madurez fija T, $f\left(t, T\right)$, pero hay un continuo de tales madureces - toda la curva forward como una función de T.
Puedes tener cada forward impulsado por un browniano diferente, por ejemplo, por lo que en general el enfoque HJM será de dimensionalidad infinita. Para visualizar dimensiones infinitas, puede ser útil recordar la SDE unidimensional, la SDE bidimensional, y así sucesivamente. Pero hay casos especiales para los cuales se puede ver como de dimensionalidad finita.
Por favor, también consulta la discusión aquí: Parametrización de Musiela
Digamos que queremos poner precio a un conjunto de bonos con vencimientos $ T $ que varían en un cierto intervalo, de modo que tenemos un continuo de bonos. En este caso entiendo por qué terminamos con un continuo de forwards. Pero ¿qué sucede si tomamos simplemente un conjunto finito de bonos?
Pero entonces, incluso un cupón cero de madurez única depende de todo el rango de forward instantáneos, recuerda la relación: $B=e^{-\int_{0}^{T}{f(0,u)du}}$
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