Parametrización de Musiela

Question

Tengo una pregunta sobre la prueba de la parametrización de Musiela para la dinámica de la curva de tipos a plazo. Si $T$ es la madurez, $\tau=T-t$ es el tiempo de maduración, y $dF(t,T)$ define la dinámica de la curva de tipos de interés a plazo, entonces la parametrización de Musiela define la dinámica de los tipos de interés a plazo $$d\bar{F}(t,\tau)=dF(t,t+\tau)$$ .

Mi pregunta se refiere al siguiente paso en el funcionamiento de la parametrización de Musiela. Toda la bibliografía que he consultado explica la siguiente línea afirmando simplemente que se aplica una "ligera variación" de Ito. La línea dice:

$$d\bar{F}(t,\tau)=dF(t,T)+\frac{\partial F}{\partial T}dt$$

¿Puede alguien aclarar qué variante de Ito se está utilizando aquí? No lo entiendo. Los parámetros para $d\bar{F}$ no incluyen un proceso de deriva/difusión Ito, así que ¿por qué se utiliza Ito?

Answer 1

$dF(t,T)$ describe la dinámica del tipo de un determinado contrato a plazo en función del tiempo $t$ se adelanta a un vencimiento fijo $T$ .

$d\bar F(t,\tau)$ describe la dinámica del tipo en un punto concreto de la curva de rendimiento a medida que avanza el tiempo.

El diferencial $\frac{\partial F}{\partial T}dt$ es simplemente la diferencia entre mantener el tiempo de expiración $T$ constante en el caso de $F$ y avanzando con el tiempo $t$ para permanecer en el mismo punto $t+\tau$ en la curva de rendimiento en el caso de $\bar F$ .

En algún lugar subyacente a todo esto hay un proceso de deriva-difusión, pero no se indica explícitamente en sus ecuaciones.

$dF(t,t+\tau)$ es un diferencial "total" de $F$ con respecto a un cambio simultáneo en sus dos argumentos. Esto se convierte en la suma de una diferencial parcial con respecto al cambio en el primer argumento solamente, $dF(t,T)$ y una diferencial parcial con respecto al cambio en el segundo argumento solamente, $\frac{\partial F}{\partial T}dt$ a medida que avanza el tiempo.