En primer lugar, ofrezco una breve descripción de las secuencias de Halton. A Halton es una secuencia determinista de números que proporciona "sorteos" bien espaciados de un intervalo y proporciona una correlación negativa entre la probabilidad simulada para los individuos.
- La generación se basa en un número primo
- La secuencia se construye a partir de divisiones cada vez más finas de subintervalos del intervalo unitario
Ejemplo
-
primo = 3
-
0 , 1/3, 2/3, 3/3
- 1/3, 2/3 (la longitud es 3^1 - 1)
-
0 , 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9, 9/9
- 3/9, 6/9, 1/9, 4/9, 7/9, 2/9, 5/9, 8/9 (la longitud es 3^2 - 1)
-
0 , 1/27, 2/27, 3/27, 4/27, 5/27, 6/27, 7/27, 8/27, 9/27, 10/27, 11/27, 12/27, 13/27, 14/27, 15/27, 16/27, 17/27, 18/27, 19/27, 20/27, 21/27, 22/27, 23/27, 24/27, 25/27, 26/27, 27/27
- 3/9, 6/9, 1/9, 4/9, 7/9, 2/9, 5/9, 8/9, 1/27, 10/27, 19/27, 4/27, 13/27, 22/27, 2/27, 7/27, 16/27, 25/27, 2/27, 11/27, 20/27, 5/27, 14/27, 23/27, 8/27, 17/27, 26/27 (la longitud es 3^3 - 1)
Una explicación rápida para esta larga secuencia.
0 , 1/27 [9], 2/27 [18]- 9/27 [1], 10/27 [10], 11/24 [19]
- 18/27 [2], 19/27 [11], 20/27 [20]
- 3/27 [3], 4/27 [12], 5/27 [21]
- 12/27 [4], 13/24 [13], 14/27 [22]
- 21/27 [5], 22/27 [14], 23/27 [23]
- 6/27 [6], 7/27 [15], 8/27 [24]
- 15/27 [7], 16/27 [16], 17/27 [25]
- 24/27 [8], 25/27 [17], 26/27 [26]
Espero que el patrón esté claro. Ahora, digamos que tomo la secuencia de longitud 8,
3/9, 6/9, 1/9, 4/9, 7/9, 2/9, 5/9, 8/9 .
Quiero encontrar el valor de una opción de compra europea con pago en el tiempo $t$ de $max(0, S(t) - K)$ donde $K$ es el precio de ejercicio y $S(t)$ es el precio de las acciones en $t$ . Digamos que el proceso de riesgo neutral para la acción es
$$dS(t)/S(t) = (r-\delta)dt + \sigma \tilde{dZ}(t)$$
donde $dZ(t) = \phi dt + dZ(t)$ . Entonces $d\ln(S(t)) = (r - \delta - 0.5\sigma^2) dt + \sigma \tilde{dZ(t)}$ para que $\ln(S(t)/S(0)) \sim N(m = (r-\delta - 0.5\sigma^2)t, v = \sigma \sqrt{t})$ donde $\delta$ es el tipo de dividendo compuesto continuamente de la acción, $r$ es el tipo de interés sin riesgo y $\sigma$ es la volatilidad.
Primero podemos utilizar el método de inversión para transformar el número uniforme en números normales aleatorios. El primer número sería $N^{-1}(1/3)$ = -0.43. Esta es la función cuantil de la distribución normal estándar con $N(-0.43) = 1/3$ . Los números normales transformados son -0.43, 0.43, -1.22, -0.139, 0.765, -0.765, 0.139, 1.22 . Denotemos un número normalizado por $z_j$ . Luego un número aleatorio normal de nuestra distribución, $n_j = v z_j + m_j$ .
Supongamos que $\sigma = 0.3$ , $r = 0.05$ , $\delta = 0$ y $t=1$ es el tiempo hasta la expiración. A continuación, $m = (0.05 - 0 - 0.5*0.3^2) = 0.005$ y $v = 0.30$ . El primer número normal transformado es $0.30 (-0.43) + 0.005 = -0.124$ . La lista de números es
- -0.124, 0.134, -0.361, -0.0369, 0.234, -0.2244, 0.0469, 0.3712
Entonces tomamos $x_j = exp(n_j)$ para obtener los números aleatorios log-normales. El primer número aleatorio log-normal es $exp(-0.124) = 0.883$ . La lista de números i
- 0.883, 1.14, 0.697, 0.964, 1.264, 0.80, 1.048, 1.45 .
Digamos que el precio inicial de las acciones es $S(0) = 40$ . A continuación, los precios de las acciones al vencimiento, $S(1) = S(0) x_j$ . El primer precio de las acciones es 40 * 0,883 = 35,33. Se muestra la lista de precios de las acciones, seguida de los pagos con $K=40$ para una llamada europea.
- S(1): 35.33, 45.75, 27.87, 38.55, 50.57, 31.96, 41.92, 57.98
- Pago(1): 0, 5.75, 0, 0, 10.57, 0, 1.92, 17.98
El pago medio es de 3,286. El precio estimado de la opción en el tiempo 0 es $C = exp(-0.05) 3.286 = 4.53$ . El precio Black-Scholes de la opción es 5,692502. Si utilizamos 26 números, nuestro precio se convierte en 4,89.
EDITAR 1
Voy a dar un ejemplo de lo que quiero decir con precio intermedio: utilizaré la secuencia Halton anterior para estimar el precio de una llamada de precio medio geométrico con $K=40$ . Obsérvese que existe una fórmula de Black Scholes de forma cerrada para esta opción que se muestra aquí .
$u$ = 3/9, 6/9, 1/9, 4/9, 7/9, 2/9, 5/9, 8/9
$z$ = -0.43, 0.43, -1.22, -0.1397, 0.765, -0.765, 0.1397, 1.22
$n$ = 0.089, 0.094, -0.2564, -0.027, 0.165, -0.160, 0.032, 0.2614
$x$ = 0.915, 1.10, 0.774, 0.973, 1.18, 0.852, 1.03, 1.30
$S_{1/2}$ = 36.60, 43.94, 30.95, 38.93, 47.16, 34.09, 41.31, 51.95
Utilicemos ahora un conjunto diferente de números Halton (con primo = 2). La secuencia es 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 5/8, 3/8, 7/8, 1/16, 9/16, 5/16, ... pero sólo queremos los 8 primeros números. Tenga en cuenta que el precio de las acciones $36.69 = 36.60 * 1.0025$
$u$ = 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 5/8, 3/8, 7/8, 1/16
$z$ = 0.00, -0.674, 0.674, -0.115, 0.3189, -0.3189, 1.15, -1.534
$n$ = 0.0025, -0.1405, 0.1455, -0.2415, 0.070, -0.0651, 0.2465, -0.3229
$x$ = 1.0025, 0.8689, 1.16, 0.785, 1.072, 0.9370, 1.28, 0.724
$S_{1}$ = 36.69, 38.17, 35.80, 30.58, 50.59, 31.95, 52.86, 37.61
Las medias geométricas son $( S_{1/2} S_{1} )^{1/2}$ . Por ejemplo, $36.64 = (36.60 * 36.69)^{0.5}$
$G$ = 36.64, 40.95, 33.289, 34.50, 48.845, 33.00, 46.73, 44.21
A continuación se muestra el valor de la opción para cada una de estas medias. Tenga en cuenta que $max(0, 36.64 - 40) = 0$ y $max(0, 40.954 - 40) = 0.95433$ .
$V$ = 0.00, 0.954, 0.00, 0.00, 8.85, 0.00, 6.73, 4.21
El precio de la opción se estima en $\overline{V} e^{-r (1)} = 2.59 e^{-0.05} = 2.47$ .
