Utilización de Black-Scholes para fijar el precio de una opción de compra de precio medio geométrico

Question

Lo siento si este es el intercambio equivocado para esta pregunta. De todos modos, parece ser el más relevante.

Estoy tratando de aprender y comprender el marco de Black-Scholes, centrándome en el enfoque de las ecuaciones diferenciales estocásticas (el examen que voy a realizar se centra en él). Así que me propuse un reto. Me gustaría fijar el precio de una opción de compra con media geométrica especial, en la que la media se toma sobre $S_0$ y $S_1$ .

Mi intuición es que lo que "realmente" estoy tratando de valorar es una llamada europea, donde el subyacente es la media geométrica del precio de las acciones. He definido un proceso $G(t)$ por

\begin {equation*} G(t) = \left (S_0 S_t \right )^{ \frac {1}{2}}. \end {equation*}

La intención es aplicar el lema de Ito, así que tomé derivadas: \begin {align*} G_t &= 0 & G_S &= \frac {1}{2}S_0S_t^{- \frac {1}{2}} & G_{SS} = - \frac {1}{4}S_0^{- \frac {3}{2}}. \end {align*}

Después de aplicar el lema de Ito, obtengo la ecuación diferencial estocástica \begin {equation*} \frac { \mathrm {d}G(t)}{G(t)} = \frac {1}{2} \left [ \left ( \alpha - \delta - \frac {1}{4} \sigma ^2 \right ) \mathrm {d}t + \sigma \mathrm {d} Z_t \right ], \end {equation*} donde $\alpha$ es la tasa de rendimiento esperada de la acción.

Así que veo que $G(t)$ es un movimiento browniano geométrico. Pero aquí es donde me confundo profundamente, ya que es una derivada de la acción $S_t$ . Así que cuando hago una fijación de precios neutral al riesgo, ¿tengo que asumir que $S$ gana el tipo libre de riesgo (lo que equivale a fijar $\alpha = r$ en la ecuación diferencial estocástica anterior), o asumo que G gana la tasa libre de riesgo? ¿O algo más?

Mi intuición me dice que una vez que averigüe qué tipos utilizar y dónde, puedo utilizar la fórmula Black-Scholes para una llamada para conseguir este precio de reclamación. ¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

esta no es la manera de hacerlo. El argumento Black-_Scholes requiere que el subyacente sea negociable. $S_{t}^{0.5}$ no es negociable.

En cambio, reconoce que lo subyacente sigue siendo $S_t$ pero el pago ha cambiado a $$ (\alpha S_{t}^{1/2} - \beta)_+ $$ para las constantes apropiadas $\alpha,\beta.$ Por lo tanto, la derivación de la ecuación BS sigue siendo válida y la condición de contorno es diferente.

Para resolver la ruta más fácil es la expectativa neutral de riesgo. $$ e^{-rT}E((\alpha S_{T}^{1/2} - \beta)_+ ). $$ Para obtener la distribución de $S_{T}^{1/2}$ obtener la de $S_T$ que es lognormal y por tanto tiene root cuadrada lognormal.

Answer 2

si nos olvidamos de $S_0$ Sólo se trata de valorar una opción de potencia, es decir, una opción sobre $S^\alpha$ .

Por Ito $$ d \log S^\alpha = \alpha d\log S = \alpha (r- q - \frac{1}{2}\sigma^2 ) dt + \alpha\sigma dW_t $$ Esto se puede reescribir $$ d \log S^\alpha = (r-q'-\frac{1}{2}\sigma'^2 ) dt + \sigma' dW_t $$ Si se fija

$\sigma' = \alpha \sigma$

$q' = r -\frac{1}{2}(\alpha\sigma)^2 - \alpha (r- q - \frac{1}{2}\sigma^2 ) = (1-\alpha)r - \frac{1}{2}\alpha(\alpha - 1)\sigma^2 + \alpha q$

Entonces $e^{-rt}S^\alpha_te^{q't}$ también es una martingala y la fórmula BS se aplica con los nuevos parámetros (el tipo de interés permanece igual pero el vol y el rendimiento del div cambian).

$$ E^Q_t[e^{-rT}(S^\alpha_T - K)_+] = C_{BS}(S_t^\alpha,T-t,K,r,q',\sigma') $$