Por qué el modelo de volatilidad local subestima el precio de las opciones dobles sin contacto

Question

Al leer esta gran respuesta En cuanto a los puntos 2 y 3, se afirma que el modelo de volatilidad local no está adaptado a las opciones de doble toque con barrera de precios. Pero no entiendo exactamente por qué. ¿Podría dar una explicación más detallada?

En este mismo enlace, se afirma que el modelo de Volatilidad Local subestima el precio de la opción doble no touch. Sin embargo, he visto que el modelo de Volatilidad Local tiene una volatilidad baja, por lo que la volatilidad global es menor. ¿Es eso correcto? Si es así, dado que una opción doble sin toque es vega corta, ¿la Volatilidad Local debería sobreestimar el precio de las opciones dobles sin toque?

Answer 1

En este momento estoy en mi teléfono, así que será difícil dar cuerpo a una respuesta que lo explique, pero lo intentaré. Ha terminado siendo más una explicación intuitiva, espero que ayude.

En un modelo de volatilidad local, usted tiene su superficie de volatilidad local y una trayectoria que serpentea a través de ella. La volatilidad realizada de esa trayectoria será un número aleatorio, pero la expectativa de ese número será la integral de la trayectoria sobre la superficie de VL (en realidad necesitamos la integral de la trayectoria sobre la superficie de varianza ya que es la cantidad aditiva):

$$ \mathbb{E}\left[\sigma_{\mathrm{path}}\right] = \frac{\sqrt{\int_0^t \sigma_\mathrm{local}^2(P(\tau), \tau ) \mathrm{d}\tau} } {t} $$

Ahora, notarás que he escrito que esta es la expectativa de la volatilidad realizada del camino, y también que depende del camino específico. Esto se debe a que la volatilidad real que encuentra la senda depende de los valores específicos de $\mathrm{d}W$ que escupe el conductor al azar. Es plausible (pero improbable) que todos los números aleatorios sean cero, en cuyo caso la volatilidad realizada de esa trayectoria particular será muy baja (es muy improbable que ocurra). Debido a esto, terminamos con una distribución de volatilidades realizadas, donde hay dos factores que la deciden:

1. La naturaleza aleatoria de los propios caminos, y
2. La forma de la superficie de la vol local (una superficie plana eliminará el primer efecto, mientras que una superficie muy sesgada/convexa lo aumentará, ya que se está integrando en una amplia gama de volatilidades locales diferentes).

Así que lo que estamos diciendo aquí es que realmente obtenemos una volatilidad aleatoria realizada de cada trayectoria en vol local. Pero lo que es importante es que realmente no tenemos control sobre ella, es decir, no podemos controlar la distribución de las volatilidades realizadas*. Este es el punto importante. Si el derivado que estás valorando tiene una dependencia (n aproximadamente) lineal de la volatilidad de las trayectorias, entonces por la linealidad de la expectativa, la distribución no importa, sólo la expectativa. Si, por el contrario, sí importa, entonces hay que ser capaz de controlar esa propiedad para poder fijar el precio correctamente. Este control es una de las cosas que te dan los modelos de volatilidad estocástica.

Si tienes un producto que tiene una exposición a la vol de vol, no es necesariamente cierto que LV lo subestime, debido a las trayectorias de volatilidad aleatorias no intencionadas que se experimentan debido al fenómeno explicado anteriormente. Simplemente no se tiene control sobre ello.

Volviendo al problema del DNT, pensemos en el valor de un DNT con volatilidad cero: es el 100% (suponiendo que la deriva no nos eche). Mientras se aumenta la volatilidad lentamente, la distribución de los rendimientos esperados se amplía, pero al principio se mantiene dentro de las dos barreras: su valor se mantiene en el 100%. En algún momento, la distribución empieza a traspasar las barreras, y la TV del dnt empieza a curvarse hacia abajo. A medida que seguimos aumentando el vol, el valor se aproxima a cero (ya que el KO se convierte en algo casi seguro), pero una vez que se llega a vols más altos, aumentarlos más y más tiene efectos decrecientes - es decir, se tiene una función tv(vol) que se parece a esto:

Donde es cóncavo en vol hasta cierto punto, luego se convierte en convexo. El punto exacto en el que se produce ese cambio depende de las barreras, del nivel general de volatilidad y del tiempo de vencimiento. Cuando es cóncavo en vol, es corto en vol, y cuando es convexo es largo en vol. Sin embargo, en términos generales, se estructurarán de manera que estén en la región convexa, ya que normalmente los que compran estos productos quieren pagar en algún lugar en la región del 10% por ellos. Cuando sabemos que un producto es lineal en una sustancia, sabemos que la expectativa de f(x) es la misma que f(E(x)), también sabemos que cuando una función es cóncava o convexa, necesitamos simular correctamente la distribución de esa sustancia para integrarla**. Por lo tanto, no es exacto decir que el vol local infravalora los productos dobles sin contacto. Es justo decir que en el reducido universo de DNTs que los inversores a menudo buscan, en subyacentes de baja volatilidad (es decir, Spx) entonces la vol local probablemente subvalorará estos.

Otra cosa que hay que tener en cuenta es que el modelo probablemente arrojará un valor como el 7%, y los operadores de la mesa hablarán entre ellos y decidirán que no hay manera de que lo vendan por el 7%, y si es atractivo probablemente estarán contentos de comprarlo por el 10%, y entonces mostrarán una oferta/demanda de 10/20.

*Puedes hacer trampa en esto, imagina que creas dos superficies locales de vol, una a un nivel general de 10, y la otra a 30, y luego las empalmas (digamos, cada 0.0000001, o alguna otra pequeña cantidad, cambias entre la superficie uno y la superficie dos), el ahora cada vez que vayas a buscar el vol de la superficie LV, muestrearás aleatoriamente uno o el otro. Ahora terminará con dos distribuciones para las rutas de vol. Puedes extender esto a tantas subsuperficies como quieras, permitiéndote construir cualquier distribución de vols realizados que desees utilizando la función fdc inversa que se puede empaquetar en miles de veces, lo que permite definir la distribución por golpe y tiempo en la superficie de LV. Sin embargo, es un hack total, y mientras que le permite controlar la distribución final de las volatilidades realizadas, no le da el control sobre la dinámica de la volatilidad, que puede o no puede importar para su derivado - que normalmente lo hacen, ya que no es normalmente vol de vol que se preocupan, pero normalmente la volatilidad condicional después de ruptura de la barrera y esas cosas.

**Esto es una simplificación, y como se menciona en el asterisco anterior, normalmente es el aspecto de la volatilidad condicional de un modelo stoch. Vol, en lugar de la distribución terminal de las trayectorias. Sin embargo, sigue siendo útil pensar en ello.