¿Por qué la dinámica de los locales de la volatilidad que está mal?

Question

En Dupire local de la volatilidad del modelo, la volatilidad es una función determinista de que el precio del subyacente y el tiempo, elegido para que coincida con observó opción Europea de los precios. Para ser más específicos, dada una superficie lisa $(K,T)\mapsto C(K,T)$ donde K es la huelga y T es el tiempo de maduración. Dupire ecuación implica que no sale de una única función continua $\sigma_{col}$ se define por $$\sigma_{loc}^{2}(K,T)=\frac{\partial_{T}C(K,T)+rK\partial_{K}C(K,T)}{\frac{1}{2}K^{2}\partial_{KK}C(K,T)}$$ para todo $(K,T)\en(0,\infty)\times(0,\infty)$ tales que la solución a la ecuación diferencial estocástica $dS_{t}/S_{t}=rdt+\sigma(t,S_{t})dW_{t}$ exactamente genera la opción call Europea de los precios.

¿Qué es la dinámica de los locales de la volatilidad de decir? Son dinámicas equivalente a la volatilidad de la superficie? ¿Por qué la dinámica de los locales de la volatilidad del modelo es muy poco realista?

Answer 1

Un modelo general (continuo con rutas de acceso) puede ser escrita $$ \frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t^S $$ donde la tasa de corto $r_t$ y el punto de la volatilidad de los $\sigma_t$ son procesos estocásticos.

En el modelo Black-Scholes tanto $r$ y $\sigma$ son funciones deterministas de tiempo (incluso constante en el modelo original). Esto produce un plano de la sonrisa para cualquier vencimiento $T$. Y tenemos la forma cerrada de la fórmula para la opción de los precios $$ C(t,S, T,K) = B(S,T-t,K;\Sigma(T,K)) $$ donde $BS$ es el BS fórmula y $\Sigma(T,K) = \sqrt{\frac{1}{T t}\int_t^T \sigma(s)^2 ds}$. Esto no es consistente con la sonrisa observa en el mercado. Con el fin de igualar los precios de mercado, uno necesita usar un diferente volatilidad para cada vencimiento y huelga. Esta es la volatilidad implícita de la superficie $(T,K) \mapsto \Sigma(T,K)$.

En el local de la volatilidad del modelo, las tasas son deterministas, instantánea de volatilidad estocástica, pero sólo hay una fuente de aleatoriedad $$ \frac{dS_t}{S_t} = r(t) dt + \sigma_{Dup}(t,S_t) dW_t^S $$ este es un caso especial del modelo general con $$ d\sigma_t = (\partial_t \sigma_{Dup}(t,S_t) + r(t)S_t\partial_S\sigma_{Dup}(t,S_t) + \frac{1}{2}S_t^2\partial_S^2\sigma_{Dup}(t,S_t)) dt + \frac{1}{2}S_t\partial_S\sigma_{Dup}(t,S_t)^2 dW_t^S $$ ¿Cuál es el atractivo de este modelo es que la función $\sigma_{Dup}$, puede ser perfectamente calibrado para que coincida con todo el mercado de la vainilla de los precios (y muy fácilmente).

El problema es que mientras se correlaciona con el área, estudio estadístico muestran que la volatilidad también tiene su propia fuente de aleatoriedad e independiente de la de la mancha. Matemáticamente, esto significa que en el instante de correlación entre el lugar y vol no es 1 contrariamente a lo que sucede en el local de la volatilidad del modelo.

Esto puede ser visto de varias maneras:

1. El avance de la sonrisa. Adelante la volatilidad implícita es implícita de los precios de las opciones de inicio: ignorando las tasas de interés, $$ C(t,S;T\T+\theta,K) := E^P[(\frac{S_{T+\theta}}{S_{T}}-K)_+] =: C_{BS}(S=1,\theta,K;\Sigma(t,S;T\T+\theta,K)) $$ Alternativamente, se define a veces como la expectativa de volatilidad implícita en una fecha posterior. En un LV modelo, como el plazo de vencimiento $T$ aumenta pero $\theta$ se mantiene constante, el delantero sufre la sonrisa más plano y más. Esto no es lo que observamos en los mercados donde el avance sonrisa tiende a ser similar a la actual de la sonrisa.

Esto es debido a que el inicial sonrisa calibrar el modelo también tiene la disminución de la inclinación: $$ \partial_K \Sigma(0,S, T,K) \xrightarrow[T\a +\infty]{} 0 $$

2. La sonrisa de rodadura. En un LV modelo, la sonrisa, tiende a moverse en la dirección opuesta de la mancha y a obtener mayores independientemente de la dirección de la mancha. Esto no es consistente con lo observado en los mercados. Ver Hagan y al. La gestión de la Sonrisa de Riesgo para la derivación. Esto significa que $\partial_S \Sigma_{VI}(t,S, T,K)$ a menudo tiene la mala señal para el Delta será un error que puede conducir a una mayor cobertura de error que el uso de BS.
3. Las opciones de la barrera. En los mercados de divisas, las opciones de la barrera como Doble Sin Contacto son líquidos, pero un LV modelo calibrado a vainilla precios no reproducir estos precios. Esto es una consecuencia del punto anterior.

El LV modelo es un modelo estático. Toda su dinámica viene de la volatilidad de la superficie en el tiempo 0. Pero el vol de la superficie tiene una dinámica que es más rica que eso.

Hay alternativas el uso de múltiples factores como la SV modelos, LSV modelos paramétricos local vol como SABR o no paramétrico local vol), los modelos de la articulación dinámica de la mancha y vol superficie, etc... pero la VI modelo sigue siendo el modelo por defecto en muchos de los casos, debido a su sencillez, su capacidad para calibrar la inicial de la sonrisa perfecta y sus numérico de la eficiencia.

Answer 2

Aquí "dinámica" significa que el supuesto comportamiento futuro de la mancha proceso, es decir, que sigue la SDE $$ dS/S = r dt + \sigma_{col}(S,t) dW_t .$$

Hay varias maneras de ver que estas dinámicas no son realistas.

Uno es buscar el tiempo de homogeneidad. En casos normales, se espera que el mercado siga las mismas reglas que en una semana y en un año a partir de hoy. Pero, inevitablemente, un local de la volatilidad del modelo se calibra para tener más cada vez más pronunciada $\sigma_{col}(K,T)$ en función de $K$ cuando $T$ es pequeña en comparación a cuando $T$ es grande. Esta falta de homogeneidad del modelo calibrado refleja un desajuste entre el modelo y la realidad.

Otra es buscar en el modelo calibrado para los días subsiguientes opción de precios. Si el modelo es correcto, el recalibrado $\tilde{\sigma}_{col}$ se obtiene a partir de $\sigma_{col}$ por la traducción. En la práctica eso no se cumple.

Una tercera es el estudio de cobertura de rendimiento de opciones de vainilla. De acuerdo con el local de la volatilidad del modelo de tiempo continuo delta de cobertura exactamente se puede replicar cualquier opción de pago. En la práctica, existen errores de cobertura, y de backtesting se muestran son significativos para el local de la volatilidad del modelo.

Finalmente, uno puede mirar en opciones exóticas de los precios. Por ejemplo, el local de la volatilidad del modelo tiende a subestimar significativamente el valor razonable de una doble opción de no tocar con la simétrica de la barrera de los niveles de la actual irregular y moderada (10-20%) de probabilidad de pagar.