Existencia de la representación de la utilidad de una preferencia racional pero discontinua

Question

Esto está relacionado con ¿Las preferencias discontinuas no implican una función de utilidad continua?

Creo que el título de la pregunta enlazada más arriba está redactado de tal manera que oculta una pregunta sutilmente diferente pero más interesante que el OP también insinuó en el cuerpo. Me gustaría preguntarlo explícitamente aquí.

¿Existe un sistema racional pero discontinuo relación de preferencia que es representable por una función de utilidad (potencialmente discontinua)?

En otras palabras, si $\succsim$ satisface la completitud y la transitividad, pero viola la continuidad ¿podemos encontrar una función de utilidad que lo represente?

A partir de los resultados conocidos, la respuesta no parece obvia.

• Sabemos que existe una representación de utilidad continua si y sólo si la preferencia es completa, transitiva y continua . Pero esto no nos dice lo que ocurre cuando la preferencia no es continua.
• Sabemos que la representación de la utilidad no existe para algunas preferencias discontinuas (por ejemplo, la preferencia lexicográfica). Pero, ¿se puede generalizar esta conclusión?

Por último, quiero señalar que el requisito de $\succsim$ violar la continuidad significa que estamos descartando los dominios finitos (¿y contables?).

Answer 1

Creo que un problema básico es que cualquier función de utilidad define una preferencia, y las funciones de utilidad discontinuas pueden utilizarse para definir preferencias discontinuas. Por lo tanto, hay muchas preferencias discontinuas que pueden representarse mediante funciones de utilidad. Un ejemplo:

Dejemos que $U(x,y)$ sea una función de utilidad continua que se traslada de $\mathbb{R}^2$ a $(0,1)$ . Esto último puede parecer arbitrario, pero la función estrictamente monotónica creciente $\frac{x}{x+1}$ mapas de $\mathbb{R}_{++}$ a $(0,1)$ Así que debería estar bien. Defina también un conjunto cerrado $H \subset \mathbb{R}^2$ . Dejemos que $$ \hat{U}(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} U(x,y) & \mbox{if} (x,y) \notin H \\ \\ U(x,y)+1 & \mbox{if} (x,y) \in H. \end{array} \right. $$ Obviamente $\hat{U}(x,y)$ no es continua y tampoco lo son las preferencias definidas por ella. (El límite de $H$ es preferible a todo lo que está fuera $H$ .) Pero la forma de generar estas preferencias parece bastante general. Así que existe una gran clase de preferencias discontinuas para las que hay una representación de la utilidad.

Pregunta para el futuro: ¿Cómo de "grande" es esta clase, qué medida se puede utilizar?

EDIT: Como señala @NicolasPinto en su responder también es necesario especificar que $H$ es tal que $$ \exists x \in H, \exists y \notin H: y \succ x, $$ así que $H$ no es el conjunto de contorno superior de algún punto, de lo contrario $U(x,y)$ y $\hat{U}(x,y)$ representarían de hecho las mismas preferencias continuas.

Answer 2

Considere la preferencia (racional) sobre $[0,1]$ definido por $u(0)=0$ , $u(x)=1$ para $x>0$ . No es continua, pero evidentemente se puede representar (por $u$ ).

De hecho, muchas preferencias que no son continuas son representables. Esto se debe a una serie de resultados de representación bien conocidos que no requieren continuidad. Por ejemplo, el siguiente resultado general se ajusta al ejemplo anterior:

Teorema . Dejemos que $X$ sea un espacio topológico de base contable. Entonces, toda preferencia sobre $X$ que tiene conjuntos cerrados "no mejores que" es representable por una función de utilidad.

Por supuesto, si $X$ es un espacio métrico separable, entonces la condición topológica se cumple automáticamente. Este resultado es esencialmente el Teorema 1 del siguiente trabajo:

Rader, T. (1963) "La existencia de una función de utilidad para representar las preferencias" Revista de Estudios Económicos , 30, 229-232.

(la única diferencia es que Rader lo prueba para conjuntos "no peores" y yo tendría que "invertir" la preferencia en el ejemplo anterior).

Answer 3

La respuesta de denesp más arriba pregunta:

¿Cómo de grande es la clase de preferencias que no son continuas pero tienen una representación de utilidad?

Esto se responde con la proposición 1.12 en Kreps, Fundamentos de la Microeconomía I. Creo que el resultado se debe originalmente a Debreu. Aquí está la declaración (literal):

Supongamos que $\succsim$ es una relación de preferencia completa y transitiva sobre un conjunto $X$ . La relación $\succsim$ puede ser representada por una función de utilidad si y sólo si algún subconjunto contable $X^*$ de $X$ tiene la propiedad de que si $x \succ y$ para $x$ y $y$ de $X$ entonces $x \succsim x^* \succ y$ para algunos $x^* \in X^*$ .

Answer 4

La respuesta de @denesp para esta pregunta( que fue aceptada) es no correcto. No es cierto que una función de utilidad no continua implique una relación de preferencia no continua.

Observando el ejemplo dado en la respuesta: dejemos $U(x,y)$ sea una representación de utilidad de las preferencias racionales y continuas sobre $\mathbb{R}^2$ , $x^* \in \mathbb{R}^2 $ y $H$ = $ \{ x \in \mathbb{R}^2: x \succsim x^*\} $ entonces $H$ se cierra por continuidad de $\succsim$ . Definir $\hat{U}(x,y)$ como antes:

$$ \hat{U}(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} U(x,y) & \mbox{if} (x,y) \notin H \\ \\ U(x,y)+1 & \mbox{if} (x,y) \in H. \end{array} \right. $$

Entonces $\hat{U}(x,y)$ representa las mismas preferencias de $U(x,y)$ que son, efectivamente, continuas. El punto principal es se pueden representar preferencias continuas con funciones discontinuas .

Volviendo a la pregunta: se podría, por supuesto, utilizar el mismo método para encontrar una relación de preferencia realmente discontinua. Basta con elegir $H$ para ser un conjunto formado por un solo punto $h$ en $\mathbb{R^2}$ cuyo conjunto de contorno estrictamente superior no es vacío. Se trata de un conjunto finito y, por tanto, cerrado. La función de utilidad resultante, modificada como antes, daría lugar a preferencias discontinuas. Eso funcionaría porque podemos crear una secuencia $h_n$ en el conjunto del contorno inferior que converge a $h$ y otra secuencia en el conjunto del contorno estrictamente superior que es sólo la repetición del punto $h'$ tal que $U(h_n) < U(h') \,\,\forall \, n \in \mathbb{N}$ pero $\hat{U}(h') = U(h') < \hat{U}(h)$ .