Interpretación de la Duración de Macaulay

Question

Tengo dificultades para conceptualizar el significado de la "duración de Macaulay" - quiero señalar que entiendo completamente las matemáticas, este no es el problema. La duración modificada y la duración efectiva tienen total sentido para mí, ya que se refieren a una aproximación de primer orden de un cambio en el rendimiento sobre el precio de un bono (por ejemplo, un cambio de 100 puntos básicos en el rendimiento provoca que el precio aumente/disminuya 110 puntos básicos). Pero la duración de Macaulay generalmente se cita en años/tiempo. ¿Cómo se interpreta esto? ¿Qué significa que un bono tenga una duración de 6 años? ¿Puede alguien ayudarme a aclarar esto? ¡Gracias!

Answer 1

La Duración de Macaulay significa nada más que después de la cantidad de años dada, recuperarás tu inversión de capital como cantidad nominal.

Si tienes \$100 invertidos, y tienes una duración de dos años, después de dos años habrás recuperado \$100, sin depender directamente de la tasa de interés o la programación de pagos (¡indirectamente por supuesto lo hacen!).

Encontré útil esta imagen:

En este ejemplo, el bono se valorará en 130.46, que es la suma de los VP de todos los FC. Después de la DM - 1.78 años -, habrás recibido exactamente tu inversión de capital, que era la cantidad nominal del bono. Estás invirtiendo la cantidad nominal y esta serie de flujos de efectivo tiene un valor más alto (¡lo cual es económicamente razonable, debido a la exposición al riesgo!). Por lo tanto, mientras que el valor del bono es de 130.46, después de 1.7775 años tendrás exactamente 100 en tus manos, y recibirás el resto - 30.46 - en el tiempo restante de vida del bono (aquí serían 0.22 años).

Puedes ver cómo los pequeños pagos suman la cantidad invertida, y por qué la Duración de Macaulay siempre es más corta que el período de pagos del bono.

¡Por supuesto que este número no es exacto! No tendrás 100 en tu cuenta después de 1.78 años, sino menos. Tendrás que esperar al pago del cupón después de la DM para superar realmente los 100\$ (en el ejemplo ese es el pago final).

Answer 2

La respuesta simple pero exacta debería ser que la Duración de Macaulay es la madurez promedio ponderada de los flujos de efectivo (en años). Así es como se define en casi todos los libros de texto y es cómo la ven la mayoría de los practicantes del mercado. Por eso se cita en años y da una indicación de cuándo, en una base ponderada, se pagan los flujos de efectivo (maduran). Por ejemplo, en la imagen de phi, el valor presente del flujo de efectivo en t1 (9.61) se paga/madura en t1. En este ejemplo, DM es de 1.78 lo que significa que la mayor parte de la madurez de los flujos de efectivo ocurre cerca de t2, simplemente porque el último cupón se paga en t2 además de que el valor nominal se devuelve al inversor. No lo haría más complicado de lo que realmente es.

Edición: El siguiente enlace puede hacerlo más claro en caso de que todavía haya confusión: http://www.econ.ohio-state.edu/jhm/ts/duration.htm

Simplemente ten en cuenta que la Duración de Macaulay de un bono cupón cero es igual a la madurez del bono.

Answer 3

Hay muchas formas de entender la Duración de Macaulay, una de ellas es desde el punto de vista del "riesgo de tasa de interés".

Para un bono con cupón fijo, hay dos riesgos causados por el cambio de tasa de interés, uno es el riesgo del precio del bono y el otro es el riesgo de reinversión del cupón.

Si la tasa de interés sube, entonces el precio del bono baja pero el rendimiento por reinversión del cupón aumenta.

Si la tasa de interés baja, entonces el precio del bono sube pero el rendimiento por reinversión del cupón disminuye.

Claramente, hay un equilibrio entre los riesgos del precio del bono y de la reinversión del cupón. Al establecer el horizonte de inversión igual a la Duración de Macaulay, los dos efectos, el efecto del precio del bono y el efecto de la reinversión del cupón, se cancelan entre sí.

Para ver esto, consideremos un bono con pagos de cupón fijos anuales periódicos $C$ y con un valor nominal de $M$; el bono vencerá en el tiempo $T$, con una tasa de interés compuesta continuamente de $r$.

El precio del bono $P$ al principio es: \begin{equation} P=\sum_{t=1}^T Ce^{-rt} + Me^{-rT}. \end{equation} Seleccionemos un tiempo $t_d\in[0,T]$, el ingreso por reinversión del cupón en $t_d$ está dado por \begin{equation} R_{t_d}=\sum_{t=1}^\tau Ce^{r(t_d-t)}, \end{equation} donde $\tau$ es la última fecha de pago de cupón antes de $t_d$. Si decidimos vender el bono en $t_d$, el precio del bono será: \begin{equation} P_{t_d}=\sum_{t=\tau+1}^T Ce^{-r(t-t_d)} + Me^{-r(T-t_d)}. \end{equation}

Al tomar la primera derivada de $R_{t_d}$ y de $P_{t_d}$ con respecto a la tasa de interés $r$, podemos observar cómo los cambios en la tasa de interés afectan el precio del bono y el ingreso por reinversión del cupón:

\begin{equation} \frac{d R_{t_d}}{dr}=\sum_{t=1}^\tau (t_d-t)C e^{r(t_d-t)} = e^{rt_d} \sum_{t=1}^\tau C(t_d-t)e^{-rt} \end{equation} y \begin{equation} \begin{aligned} \frac{d P_{t_d}}{dr}&=-\sum_{t=\tau+1}^T (t-t_d)Ce^{-r(t-t_d)} - M(T-t_d)e^{-r(T-t_d)} \\ &= -e^{rt_d}\sum_{t=\tau+1}^T C(t-t_d)e^{-rt} - M(T-t_d)e^{rt_d}e^{-rT} . \end{aligned} \end{equation}

Al igualar $\frac{d R_{t_d}}{dr} + \frac{d P_{t_d}}{dr} = 0$, ambos efectos se cancelan entre sí, por lo tanto \begin{equation} \begin{aligned} \sum_{t=1}^\tau C(t_d-t)e^{-rt} - \sum_{t=\tau+1}^T C(t-t_d)e^{-rt} - &M(T-t_d)e^{-rT} = 0 \\ t_d\left(\sum_{t=1}^\tau Ce^{-rt} + \sum_{t=\tau+1}^T Ce^{-rt} + Me^{-rT}\right) & = \sum_{t=1}^\tau tC e^{-rt} + \sum_{t=\tau+1}^T tCe^{-rt} + TMe^{-rT} \\ t_d P & = \sum_{t=1}^T tC e^{-rt} + TMe^{-rT}. \end{aligned} \end{equation} Así, tenemos \begin{equation} t_d = \frac{1}{P}\times \left[\sum_{t=1}^T tC e^{-rt} + TMe^{-rT} \right] = -\frac{1}{P}\times \frac{dP}{dr}, \end{equation} lo que exactamente iguala a la definición matemática de la Duración de Macaulay.

Answer 4

Tal vez haya otra forma de llegar a la "madurez promedio ponderada de los flujos de efectivo". Supongamos que tenemos un bono que paga cupones con un rendimiento continuamente compuesto $y$ que paga un cupón de valor $C_i$ en el tiempo $t_i$ para $1 \leq i \leq n$. ¿Cuál sería la madurez de un bono cero cupón con el mismo rendimiento $y$ que tiene el mismo valor presente que el bono que paga cupones?

Sea $X$ el valor nominal de dicho bono cero cupón y sea $t$ su fecha de vencimiento para que el bono cero cupón tenga un valor presente de $Xe^{-yt}$. Se sigue que $Xe^{-yt} = \sum_{i=1}^n C_ie^{-yt_i}$. Si uno diferencia con respecto a $y, se ve que $t = \frac{\sum_{i=1}^n t_iC_ie^{-rt_i}}{\sum_{i=1}^n C_ie^{-yt_i}} = \sum_{i=1}^n \omega_i t_i$ que es la madurez promedio ponderada de los flujos de efectivo con $\omega_i$ igual a la proporción del valor presente del bono que paga cupones asociado al flujo de efectivo en el tiempo $t_i$.

Answer 5

Teniendo en cuenta un bono de $T$ años con pagos periódicos fijos de cupón anual $C$ y valor nominal $M$ con una tasa de interés de interés compuesto continuamente $r$. La forma más común de explicar la Duración de Macaulay de dicho bono con cupón es replicarlo utilizando una cartera de bonos que contenga $T$ bonos cero cupón con diferentes vencimientos.

El precio total de esta cartera de bonos es igual al precio del bono de cupón fijo $P$, tal que \begin{equation} \begin{aligned} P_1 & = Ce^{-r} \\ P_2 & = Ce^{-2r} \\ & \vdots\\ P_T & = (C+M)e^{-Tr} \end{aligned} \end{equation} y \begin{equation} P = \sum_{t=1}^{T} P_t \end{equation}

Debido a que la duración de un bono cero cupón es igual a su vencimiento, nos gustaría conocer la duración promedio o vencimiento de nuestra cartera de bonos. Debido a que diferentes flujos de efectivo tienen diferentes valores temporales, no podemos hacer el promedio simple de todos los vencimientos, en su lugar, utilizamos el porcentaje del capital total invertido $P$ como el peso, tal que \begin{equation} w_t := \frac{P_t}{P} \end{equation}

Entonces, la Duración de Macaulay de un bono con cupón se define como el vencimiento promedio ponderado de todos los bonos cero cupón dentro de la cartera de bonos equivalente: \begin{equation} \text{MacD} := \sum_{t=1}^{T} w_t t = \frac{1}{P}\times \left[\sum_{t=1}^T tC e^{-tr} + TMe^{-Tr} \right]. \end{equation}