¿Las preferencias discontinuas no implican una función de utilidad continua?

Question

Estoy tratando de pensar en una relación de preferencia que pueda ser representada por una función de utilidad pero tal que no exista una función de utilidad continua.

Sé que se pueden representar las preferencias continuas con una función de utilidad discontinua, pero no estoy seguro de que lo contrario sea cierto. Estoy luchando por demostrar que NO existe tal función de utilidad continua.

Mi opinión es que si se puede definir algo con preferencias discontinuas, entonces tal vez se pueda usar esto para implicar que no existen funciones de utilidad continuas. Tenga en cuenta que las preferencias Lexiográficas no funcionarán porque estoy interesado en una preferencia que pueda ser representada por una función de utilidad (aunque sea discontinua).

Answer 1

La forma más fácil de demostrarlo es utilizando la "antigua" definición de continuidad. $\succ$ es continua si siempre que $x\succ y$ existe una vecindad de $x$ y $y$ , $B_x, B_y$ , de tal manera que todos los $z\in B(x)$ y $z'\in B(y)$ , $z\succ z'$ .

Supongamos que $x\succ y$ . Porque $u$ representa $\succ$ , $u(x)>u(y)$ . Sea $2\epsilon=u(x)-u(y)$ . Porque $u$ es continua, existe alguna $\delta>0$ tal que para todo $z\in B_{\delta}(x)$ , $u(z)>u(x)-\epsilon$ . Del mismo modo, para todos los $z'\in B_{\delta}(y)$ , $u(z')>u(y)+\epsilon$ . Pero entonces para todos $z\in B_{\delta}(x)$ y $z'\in B_{\delta}(y)$ , $z\succ z'$ según sea necesario.

Answer 2

Por un lado, toda preferencia representada por una función de utilidad continua debe ser continua. Esto se deduce del hecho de que, para cada $x \in X$ los conjuntos "no mejor que" y "no peor que" pueden escribirse como $$\left\{y\in X \middle| x \succsim y\right\} = u^{-1}\left(\left(-\infty,u(x)\right]\right),$$ y $$\left\{y\in X \middle| y \succsim x\right\} = u^{-1}\left(\left[u(x),+\infty\right)\right),$$ donde $u:X\to\mathbb{R}$ es cualquier representación de utilidad de $\succsim$ . Entonces, si $u$ resulta ser continua, estos conjuntos tienen que ser cerrados (ya que son las imágenes inversas de subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}$ ).

Por otro lado, hay preferencias discontinuas que admiten una representación de utilidad (discontinua). Por ejemplo, consideremos la preferencia (racional) por $[0,1]$ definido por $u(0)=0$ , $u(x)=1$ para $x>0$ . Esta preferencia no es continua, pero evidentemente se puede representar (por $u$ ).