Modelización de la volatilidad GARCH, rendimientos al cuadrado y convergencia

Question

Después de leer un poco más de Comercio de volatilidad En este caso, decidí intentar hacer un modelo de volatilidad simple utilizando los rendimientos diarios de un ETF que sigo. Resulta que "simple" es algo relativo. Por desgracia, parece que la mayoría de la literatura es irremediablemente vaga sobre cómo hacer exactamente tal cosa.

Así que empecé por tomar el logaritmo de los precios de cierre, y los diferencié para desdiferenciar los datos y obtener la serie de rentabilidad logarítmica. Demostré que era estacionaria ejecutando el ADF (valor p < 0,01).

Ahora es cuando empiezan los problemas. Dado que se trata de un modelo GARCH univariante, decidí correr con el rugarch en R. Inicialmente lo especulo como GARCH(1,1). El solucionador no converge. Ok - así que ejecuto un bootstrapper y trato de obtener más datos para ver si al menos puedo obtener alguna forma de convergencia - falla. Aumentar las iteraciones también parece hacer que falle. Así que no pude explicar lo bueno o malo de los datos.

Después de leer Cuestiones prácticas en el análisis de modelos GARCH univariantes de Eric Zivot Models me parece que debería utilizar algún tipo de datos transformados. Me he dado cuenta de que menciona elevar al cuadrado los retornos logarítmicos, así que lo intento a ciegas y el solucionador GARCH converge sin problemas. Al leer más sobre esto, encuentro otro documento Previsión de la volatilidad I: Modelos GARCH - que discute que los rendimientos al cuadrado están positivamente autocorrelacionados. Así que me pregunto: ¿qué es eso de los rendimientos al cuadrado?

Introduzca un puesto de aquí titulado Rendimientos cuadrados y absolutos . Este post lamentablemente no es tan útil, pero me envió a la madriguera del conejo leyendo Estimación de la volatilidad del grupo CME. En la sección 1.1 se destaca que los rendimientos al cuadrado son una aproximación a la volatilidad, sin embargo es extremadamente imprecisa. Esto me lleva a un puñado de preguntas con las que espero que me podáis ayudar:

1. Si los rendimientos al cuadrado son una aproximación imprecisa a la volatilidad, ¿por qué se sugiere que construyamos modelos de volatilidad GARCH utilizándolos? ¿No reducirá esto la eficacia de las predicciones del modelo?

2. El documento de Eric Zivots menciona los efectos GARCH de una serie temporal. Una de las formas de comprobarlo es la prueba de Ljung-Box. Sin embargo, no entiendo muy bien cómo configurar esto, especialmente en R. Mi inclinación es pensar que mi serie de retorno logarítmico no tiene efectos GARCH, sin embargo la serie de retorno logarítmico al cuadrado sí.

3. ¿Podemos utilizar un estimador de volatilidad diferente, más preciso, y construir un modelo GARCH a partir de él? (ex Garman-Klass)

Pido disculpas si son preguntas triviales, pero es que no encuentro ningún recurso que responda exactamente a mi pregunta. Apreciaría mucho cualquier ayuda o dirección de recursos donde pueda averiguar estas cosas. Realmente me gustaría entender completamente esto antes de ponerlo en práctica. Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que su serie temporal estacionaria (en este caso, una serie diaria de rendimientos logarítmicos de cierre) se modela como sigue $\forall t \in \mathcal{T}=\{1,...,N\}$ \begin{align} r_t &= E_{t-1}[r_t] + \epsilon_t \\ &= E_{t-1}[r_t] + \sigma_t z_t \end{align} con $z_t \sim N(0,1)$ y $\{z_t\}_{t \in \mathcal{T}}$ son IID.

Las ecuaciones anteriores sugieren que, conociendo la información disponible en $t-1$ (es decir, dada la filtración $\mathcal{F}_{t-1}$ ), la media condicional y la varianza de $r_t$ vienen dados, respectivamente, por \begin{align} E_{t-1}[r_t] \text{ and } \sigma^2_t \end{align} Ahora podemos especificar un modelo de media condicional por ejemplo, un ARMA(p,q) $$ E_{t-1}[r_t] = \omega_1 + \sum_{i=1}^p \alpha_i r_{t-i} + \sum_{j=1}^q \beta_j z_{t-j} $$ y/o un modelo de varianza condicional por ejemplo, un GARCH(r,s) $$ \sigma_t^2 = \omega_2 + \sum_{k=1}^r \gamma_k r^2_{t-k} + \sum_{l=1}^s \delta_l \sigma_{t-l}^2 $$ Obsérvese que estos dos modelos pueden especificarse independientemente uno del otro. Es fundamental no confundirlos, especialmente cuando se utilizan bibliotecas de terceros.

Ahora, olvidemos la media condicional en el resto de esta respuesta y supongamos $E_{t-1}[y_t]=0$ que suele ser una aproximación razonable en la práctica, al menos en lo que respecta a los rendimientos logarítmicos diarios. Asumiendo además un GARCH (1,1) se obtiene: $$ r_t = \sigma_t z_t\ \ \text{ along with }\ \ \sigma_t^2 = \omega + a r_{t-1}^2 + b \sigma_{t-1}^2 $$

De la especificación anterior se desprende que: $$ E_{t-1}[r_t^2] = E_{t-1}[\sigma_t^2 z_t^2] = \sigma_t^2 \underbrace{E_{t-1}[z_t^2]}_{=1} $$ porque $z_t \perp \sigma^2_t$ y $\sigma_t^2$ es $\mathcal{F}_{t-1}$ -medible. La ecuación anterior muestra que los rendimientos al cuadrado son un indicador insesgado de la volatilidad condicional. Sin embargo, debido a que $z_t^2 \sim \chi_{(1)}^2$ se trata de una aproximación muy imprecisa, véase Documento CME página 5 o Triacca, 2007 página 256 en Applied Financial Economics Letters, 3.

Volviendo a tu aplicación, te gustaría estimar la volatilidad histórica, ¿verdad? Tienes diferentes posibilidades. Vamos a echar un vistazo a lo que usted propone:

• GARCH(1,1): Suponiendo que no se superpone ningún modelo de media condicional, los parámetros que hay que estimar son $\omega, a$ y $b$ leyendo esos mensajes aquí y aquí puede ayudarle en su empeño. No hay ninguna razón por la que deba utilizar los retornos transformados, excepto si: (1) la función que utilizas está diseñada específicamente para tomar rendimientos transformados en la entrada, pero me parece raro (parece que has leído que utilizamos rendimientos al cuadrado en algún lugar, ¿podrías señalar exactamente dónde?) (2) Las transformaciones, como tomar root cuadrada (o el logaritmo natural, etc.), pueden ser útiles para estabilizar la varianza (es decir, hacer que la serie sea estacionaria), pero ya has comprobado que esto era correcto mediante una prueba ADF. En otras palabras, la función que utilices debería darte una respuesta. Incluso si no hay un efecto GARCH como pareces insinuar, en cuyo caso $a=b=0$ y tendrás una varianza constante (rendimientos homoscedásticos). Deberías investigar más a fondo por qué este paso falla IMHO, identificar la razón mientras no hay convergencia. ¿Tal vez utilizar la orientación de la varianza para reducir la complejidad del paso de optimización numérica (ver los posts enlazados anteriormente)?

• Garman-Klass estimador de volatilidad o cualquier otro estimador de volatilidad, por ejemplo Yang-Zhang o la muestra de la volatilidad realizada a lo largo de ventanas móviles. Como su nombre indica, se trata de estimadores, no de modelos (aunque requieren supuestos de modelización subyacentes). Son puramente descriptivos: se aplica una fórmula y se obtiene una estimación de la volatilidad. No veo por qué querría uno construir un modelo GARCH sobre un estimador de este tipo. Recuerde que GARCH es un modelo de varianza condicional. ¿Por qué modelar la varianza condicional de un estimador de volatilidad?

PD: No soy un experto en pruebas estadísticas ni en R, así que no puedo comentar cómo configurar la prueba de Ljung-Box. Aun así, diría que tu inclinación no es correcta, aunque supongo que podrías alegar que, en general, los rendimientos no están autocorrelacionados mientras que los rendimientos al cuadrado sí lo están, véase este artículo seminal sobre hechos estilizados del mercado .